SÉANCE DU l4 AVRIL I919. ^oS 



de la forme 



/ / ••• / '^itl^^2, •••, t„)x{ti)x{t.)...x{t„)dt^dl,...dtn 



sont harmoniques. On peut donc former une catégorie étendue de fonc- 

 tionnelles harmoniques. En particulier, si U, Y, W sont harmoniques, 

 aU^ + èV^ + cW- est une fonctionnelle harmonique atteignant son 

 minimum zéro en tout point où U, V, W sont nuls. 

 L'équation 



AUz=F(U) 



se ramène à celle de Laplace. Elle s'écrit, en effet, 



A G(U)-^ / ^'-(O^^l =ro, 

 G(U) étant une fonction primitive de r^rr- 



3. Le problème de Cauchy et le problème de Dirichlel. — En un point S 

 l'espace fonctionnel, l'équation ( i) s'écrit 



dn 



AsU ne dépendant que des valeurs de U sur S, et K étant une quantité qui 

 généralise la courbure moyenne des surfaces ordinaires. — n'intervient 



dn- 



pas. 



On en déduit que les surfaces U =^ const., si elles sont déterminées, c'est- 

 à-dire si U n'est pas constant dans un volume, sont des surfaces minima. 

 Inversement, sur une telle surface, les valeurs de U doivent vérifier la 

 condition AsU = o, et la connaissance de ces valeurs n'apprend rien 



d\J • 1 • 1 « rl\ 



^"^ T^' ^"^ ^^it seulement vérifier la condition \.~ = o. On ne neut 



Lin ^ .-> ^,^^ i 



jamais déduire de valeurs de U sur une surface minima ou d'un coté de 

 cette surface la valeur de U en un point situé de l'autre côté. 



Si L est donné sur une surface non minima S, le problème de Cauchy, 

 d'après l'équation (2), paraît se présenter comme pour une équation du 

 premier ordre dans l'espace ordinaire. Il y a toutefois une diflérence. Près 

 de S, U ne peut être déduit de l'équation (2) que du côté inlérieur. En 



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