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s'éloignanl de S, la région R(S) où I est définie par les données consi- 

 dérées est le lieu des points par lesquels il n'est pas possible de faire passer 

 une surface minima sans point commun avec S. En tout point où passe une 

 surface minima sans point commun avec S, U peut être choisi arbitrai- 

 rement. 



Ces énoncés restent vrais si S est, non une surface, mais une intersection 

 de surfaces. 



Ainsi, la donnée de L pour les points de la surface d'une sphère - situés 

 sur les plans P,, Po, Pg et d'un côté déterminé d'un autre plan Q, déter- 

 mine U pour tous les points intérieurs à H, situés sur P,, P.^, P3 et du côté 

 considéré de Q. On peut remplacer les plans par des surfaces minima. 



Le problème ainsi posé généralise à la fois celui de Cauchy et celui de 

 Dirichlet. 



Il peut arriver que S se décompose en deux parties S, et So, So étant 

 intérieur à R(S,). La donnée de U sur So est alors surabondante. 



4. Solution du problème précédent. — Pour déterminer U dans la région 

 R(S), connaissant ses valeurs sur S, il suffit de déterminer les surfaces 

 minima U = const., dont on connaît l'intersection avec S. Soit L une telle 

 intersection correspondant à la valeur c de U. La surface cherchée est 

 définie simplement par cette propriété que, vue d'un de ses points, la 

 zone L paraît diviser l'espace en deux angles solides égaux; on peut dire 

 aussi que, vue d'un de ses points, la région de S où r — s <^ U << c -h £ 

 paraît, quelque petit que soit z, remplir tout l'espace, le reste de S étant vu 

 sous un angle solide de mesure nulle. 



Si S est une intersection de surfaces, la même solution s'applique. Ainsi, 

 dans l'exemple donné plus haut, toute la surface de la sphère, vue d'un 

 point commun aux plans P,, Po, P3, paraît réduite au voisinage de ces 

 plans, et il importe peu qu'on se donne la valeur de U aux points de la 

 surface qui ne sont f^as sur ces plans. 



Dans le cas de la sphère, Gâteaux a défini la valeur de U par un potentiel 

 de double couche de densité égale aux valeurs de U données sur la surface. 

 Or ce potentiel en un point A est la valeur moyenne de U sur la surface, en 

 donnant pour poids à chaque partie de cette surface l'angle solide sous 

 lequel elle est vue de A. D'après ce qui précède, les régions de la surface . 

 pour lesquelles j U — U^ | > £ ont un poids nul, et l'on constate l'identittî de 

 la solution de Gâteaux avec celle qui précède. Gâteaux considérait comme 

 vraisemblable que sa solution s'appliquait au cas d'une surface convexe 



