SÉANCE DU l4 AVRIL I919. 755 



quelconque ; cette solution s'applique aussi au cas de toute surface à cour- 

 bure moyenne toujours dirigée vers l'intérieur, qu'elle soit ou non tout 

 entière du même côté de tous ses plans tangents ; dans le cas où la courbure 

 moyenne change de signe, il y a une partie de la surface dont il n'y a pas 

 lieu de tenir compte ; mais à cette condition la même solution s'applique 

 encore. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Su7' les courbes (juasi-cisymptotiq lies des surfaces 

 dans un espacr quelconque. >»ote (' ) de M. E. Bompiaxi. 



I . Un beau théorème de M. Kœnigs affirme que la projection sur un 

 plan des lignes asymptotiques d'une surface forme un réseau conjugué à 

 invariants égaux (-). 



Ce n'est qu'une conséquence d'un théorème général sur les solutions 

 communes à deux équations aux dérivées partielles, d'un type bien déter- 

 miné, mais d'ordre quelconque, et à une équation de Laplace. 



Je vais exposer ce théorème avant tout. 



2. Soient données les deux équations suivantes : 



//+/.-=■ 



dans lesquelles les termes omis sont linéaires dans les dérivées d'ordre infé- 

 rieur à V pour la première et à v' pour la seconde. On peut, par des diffé- 

 rentiations successives, se réduire au cas v = y' que nous prendrons comme 

 point de départ. 



On obtient les conditions d'intégrabilité de ce système en égalant les 



deux expressions de , ,,^, . ,^^, qu'on peut en tirer. Les coefficients de . , f ., 



qu'on tire de la première et de la seconde équation sont 



V V 



(') Séance du 24 mars 1919. 



(-) La démonstration de M. Darboux {Leçons sur la théorie des surfaces, vol. i, 

 n° 876) fait intervenir des éléments métriques qui ne sont pas nécessaires. 



