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ces coefficients doivent être égaux, donc 



Les autres conditions d'intégrabilité ne nous sont pas nécessaires. 



Cherchons maintenant s'il y a des solutions communes au système (i) et 

 à une équation de Laplace 



/2\ - à- a: d.r , dx 



\à) - — -—z±za- \-o- h ex. 



Il faudra écrire que, pour ces solutions particulières, les dérivées qu'on 

 peut obtenir soit en partant du système (i), soit de l'équation (3), sont 



égales. Si l'on compare les expressions de ^,^^, '^ qu'on peut en déduire, 

 on trouve immédiatement, en égalant les coefficients de-r^, la condition 



-X h /ov P-vo = «A H- V — - , 



et, d'une manière analogue. 



dzi 

 d'où, en tenant compte de (2), 



^^ + /-'vo /-ov =l^a . , ^^ 



da__Oh_ 



Nous sommes bien loin d'avoir écrit toutes les conditions d'intégrabililé 

 du sj^stème (i) et pour que ce système ait des solutions communes à 

 Féquation (3); mais nous pouvons conclure (et c'est le but que nous nous 

 étions proposé) que : 



Si le système (i) a des solutions communes à une équation de Laplace, 

 celle-ci a nécessairement ses invariants ésaux. 



Il est essentiel de remarquer que les équations (i) et (3 ) ne forment pas 

 système, c'est-à-dire qu'on ne suppose pas que toutes les solutions de (i) 

 soient solutions de (3); autrement les conditions d'intégrabililé seraient 

 tout à fait différentes et l'on n'aurait pas pu écrire la condition (2) qui est 

 essentielle pour arriver à la conclusion. 



