SÉANCE DU l4 AVRIL 1919. 767 



3. Pour donner une interprétation géométrique de ce théorème il nous 

 est nécessaire d'avoir recours aux notions d'espace S( A) osculateur à une 

 surface en un point ('), et de courbes quasi-asymptotiques Y/,,v+i telles que 

 le Sv+., osculateur à une courbe '.7,,;+, en un point et le §(/«) osculateur à la 

 surface dans le même point ont une incidence particulière (- ) (si // =:v = i 

 on a les asymptotiques des surfaces de S^). 



Or, si les /i -h I coordonnées projectives homogènes ^/( "i , '2 ) des points 

 d'une surface satisfont au système (i), il y a sur la surface deux systèmes ce' 

 des lignes quasi-asymptotiques (t, = const. , et To = const.). 



Si un certain nombre des solutions du système (i), soient oc^, r,, . . , X/,., 

 satisfont à l'équation (3), cela signifie que les courbes -, = const. 

 et To = const. forment un réseau conjugué sur la surface projection de la 

 précédente sur l'espace (xç^, a?,, . . . , Xj,) en prenant comme centre de pro- 

 jection l'espace des coordonnées résiduelles. 



4. On voit aisément que si la surface donnée possède deux systèmes des 

 lignes Yv/^i l'espace qui la contient est de dimension n'^ v(v H- 2). De même, 

 en utilisant l'équation (3), on trouve, pour la surface projetée, k^-i^j. Si 

 la surface possède un système de Yv,v+i ^^ ^^ système de y, ,^,^,.on trouve 

 A-^v -h v'. 



On en conclut : 



Si Von projette un double système des quasi-asymptotiques (sur un espace de 

 dimension ;iv -f- v') de manière à avoir un réseau conjugué, ce réseau résulte à 

 invariants égaux. 



Dans le plan, chaque double système de courbes formant un réseau con- 

 jugué, on a encore : 



La projection sur un plan d un double système de quasi-asymptotiques d'une 

 surface donne lieu à un réseau conjugué à invariants égaux. 



Pour V = v'= I ce corollaire est le théorème de M. Kœnigs. 



(') Cet espace S{h) contient les S/, osculateurs à toutes les courbes de la surface 

 qui passent par le point donné. 



(^) En général, la dimension de l'espace qui les contient est égale à la dimension 

 de S (A) augmentée de v — A + i ; dans le cas de y^.v+i il suffit d'augmenter la 

 dimension de S(A) de V — Ji. 



