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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les variétés ahéUennes . 

 Note de M. S. Lefschetz. 



1, Soit V,, une variété abélienne de genre/? et de rang un, Q. ]a matrice 

 de Rieniann (tableau de périodes), selon M. Scorza dont nous utiliserons 

 la terminologie. On peut montrer que Y^, existe quelle que soit Çl. Posons 



o 



ov, , , o.y.-., . • • , ov,2p !| ; (y = I , 5 ,...,/?) , 



et soit Yjj. le cycle linéaire de V^, relatif à Wy^. Aux cycles Yj^., y,, correspond 

 un cycle superficiel (a, v) avec une période (cDy^^co/..^ — (ji^iù^,) pour l'inté- 

 grale double de première espèce / idiijdu^^. Comme toute autre de pre- 

 mière espèce est une combinaison linéaire de celles de ce type, s'il y a 

 I H- ^: cycles à périodes d'intégrales de première espèce toutes nulles, ù est 

 k fois singulière. D'après ce que j'ai montré récemment, on aura donc pour 

 le nombre de Picard de V,,, p< i -h /î\ D'un autre côté, soit 9(«o u,-, • . -, Up) 

 une fonction intermédiaire relative à il, telle que : 



On devra avoir comme on le sait 



^j i^JV:' 



^•j-< 'JViJ. ) = "u-v = — "av, en lier , 



Soit A l'hypersurface algébrique que © découpe dans V^„ A''-' son inter- 

 section avec /? — 2 de ses transformées par les transformations ordinaires 

 de la variété. Considérée comme cycle à deux dimensions, 



A/' '-(/.-.)! VMj,,(^,v), 



d'où l'on déduit que V ^\^.^x^y.,, qui est la forme inverse à&^Sm^.,Xy_y.,, est 



principale pour il, puisque p> i -^ k, ce qui conduit finalement à p = i +X', 

 comme MM. Baguera et de Franchis Font déjà établi pour/? == 2. 



Ainsi la recherche de p pour V^ conduit à la détermination de l'indice de 

 singularité de il. Outre cet indice, rappelons que M. Scorza a introduit un 

 indice dit de multiplication b, correspondant aux formes non alternées, 

 comme l'autre aux formes alternées. 



