SÉANCE DU l4 AVRIL I919. 769 



2. La considération des multiplications complexes permutables de V^, 

 conduit naturellement à envisager les matrices du type 



Ihyi» vi«y> -^jx^-h •••' Vi^y~'= 'y2, ••., -jrO'-Y'W {,/ = i,'î,...,p-qrz=2p), 



où les Ty,j. sont des constantes et les a.j racines d'une équation de degré q à 

 coefficients entiers f(y-) = o. De plus, en désignant par x le conjugué d'un 

 nombre quelconque or, parmi les quantités olj, a.j (y=:i. 2, ...,p)y se 

 trouve chaque racine de /" prise r fois. Des cas particuliers de telles ma- 

 trices ont déjà été considérés par MM. Baguera et de Franchis et aussi par 

 M. Scorza. 



Soit d'abord r=^ i. Alors, parmi les racines a,, ao, ..., a^,, qui sont toutes 

 imaginaires, il n'y en a pas deux de conjuguées. A une forme de Riemann 

 de ù correspondent des relations 



devant être satisfaites pour les s paires de racines a^, y./,, déduites des paires 

 formées avec a,, a^, ..., a^,, par les substitutions du groupe G de f^o. 

 Une discussion assez simple permet d'établir que, pour que la matrice soit 

 de Iviemann, il faut et il suffît que, parmi les s paires en question, il ne s'en 

 trouve aucune ay, ay, et l'on aura alors 



IH- /j=2(l -i- k) =: 2 p =: "2 p {2 p l) — S. 



La matrice ne sera pure que si G est permutable avec la substitution per- 

 mutant les paires a,, y.^, et alors 



Enfin, quand l'équation f^ o est abélienne on a ceci : Si n est l'ordre du 

 sous-groupe maximum maintenant l'ensemble de racines a,, y..,, ..., oLj, 

 invariant, 



I -4- A = 2 ( I -f- / ) = 2 p = 2 np, 



et la matrice n'est pure que si « = i . 



Des résultats semblables sont valables pourra r, et quand les t sont 

 aussi arbitraires que possible, dans les deux cas suivants où l'on peut 

 démontrer l'existence effective des matrices de Riemann : 1° Les c/.j sont 

 réels. Alors 



I + /^ = I + /l =: p = 7 . 



