SÉANCE DU 22 AVRIL I919. ' 8l3 



arbitrairement petite ffi, la fonction '^ prend, dans Tensemble des aires (•?, 

 cDc, tOo--, ..., lôc", ..., toute valeur finie sauf peut-être une seule valeur. 

 En :;o, la suite des fonctions 9„(:^) = '^(rT"") n'est pas normale. Si l'on con- 

 sidère les racines z,^ de l'équation ofr) = «, les rayons Oz^ ont un rayon 

 limite au moins, si a n'est pas valeur exceptionnelle. Sauf peut-être pour 

 une valeur de «, il existe au moins un rayon OT qui est rayon limite de Oza, 

 quelque soit a. On peut remplacer les rayons par des courbes continues 

 semblables allant à l'infini. 



On peut substituer aux nombres t, 7% ..., 1" , ..., qui tendent vers 

 l'infini, une suite quelconque 7,, o-.,, ..., g-„, ..., tendant vers l'infini, 

 puisque, à l'origine, les 0(^7,,) ne forment pas une suite normale, et, 

 d'autre part, les points où une telle suite n'est ^di?,noTm3\Q ne sont pas isolés . 

 A toute suite cr,, cr^,, . . . , cr„, .. ., correspond aussi un ensemble parfait E 

 jouissant des mêmes propriétés que l'ensemble précédent v^"^; en tout point 

 de E, la suite des o (r(7„) n'est pas normale. Deux ensembles E, correspon- 

 dant à deux suites différentes 0-,, r7o, ..., 7,,, ..., et T,, T., ..., T„, ..., 

 peuvent n'avoir d'autre point commun que l'origine qui est commune à tous 

 les E. Par exemple, si de o ( j) = e^ on tire, en posant a = is (5 réel et >► i), 

 (i»„(ir) =r= rr""*", on a à envisager les suites 9,iy;(-) = e''''', 0;j,+-2 {'•) = e~''''"^\ 

 9v7+i (^) = e''-"'''^', ?'j>+^ = g -'-vn'+:' (Jont les deux premières sont normales en 

 tout point non situé sur l'axe imaginaire et non normales en tout point de 

 l'axe imaginaire, alors que pour les deux dernières l'ensemble E est l'axe 

 réel. L'ensemble appelé C^, relatif à la suite a, t-, . . ., c", . . . , comprend 

 tous les points où une suite o„ (z) = ^(s'j"'') n'est pas normale. En un point 

 de ^rp il peut donc arriver, comme le montre l'exemple précédent, que cer- 

 taines suites extraites de la famille des !p„=cp(r'7") soient normales, et 

 que d'autres ne le soient pas. 



Pour une même fonction ^(z), l'ensemble Cr; varie avec t. On a vu que, 

 si G- est réel, Cr; relatif à e" se compose de l'axe imaginaire. Si r; = is (s réel), 



i:^ se compose des axes réel et imaginaire. Si a- = tos \s réel, w = e '' ), Cr, 

 se compose, sip est pair, de - droites issues de s dont Tune est l'axe imagi- 

 naire, deux droites consécutives faisant entre elles l'angle —5 et, si ^ est 

 impair, de p droites issues de o dont l'une est l'axe imaginaire, deux droites 

 consécutives faisant entre elles l'angle —■ Si c = se''^, s réel > i , incom- 



o 2 p 



mensurable à 2-, c^ comprend tout point du plan. 



C.R., 1919, i" Semestre. (T. 168, N" 16.) lO/ 



