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Cr; étant parfait, et les zéros de o n'étant qu'en infinité dénombrable, on 



peut dire qu'en tout point de C^y, distinct d'un zéro de g, la famille des '^ /,. 



n'est pas normale et, par suite, tout point de i'^ est limite pour les racines 

 des équations 'ji{z.'j") = o, /î = i, 2, ..., yz ou celles des équations 

 o(-(7") = A o( ;),// = I. •>,, . . ., ce [a constante quelconque 7^ o |. On voit 

 de même que tout point de C,j est limite pour les racines des équations 

 çi(^a")=:o, // = I, 2, . . ., 00, OU pour celles des équations o(z(y"') = AoÇz-'j' ), 



n = i, 2, . . ., ccjc' tixe mais quelconque, X constante quelconque ^ o]. 



« 



II. Introduisons maintenant les valeurs asymptotiques de 9(^). Hya 

 toujours la constante iniinie et l'on voit ainsi que, si c^ est discontinu, dans 

 toute région cO ne contenant pas de point de Cr;, la suite des 9„(s) = o(-o"«) 

 converge uniformément ver^l'infîni ; si j est un point du plan n^appartenant 

 pas à vL", la suite 9(2), 9(;a-), ,.., 0(^0-"), ... tend uniformément vers 

 l'infini. J'ai donné des exemples de telles fonctions entières : on peut dire 

 qu'elles tendent presque partout vers l'infini quand z tend vers l'infini. 



Mais il est immédiat que cette circonstance ne peut se présenter 

 sio{z) admet une valeur asymptotique finie (qui peut être ou ne pas être une 

 valeur exceptionnelle). Alors ^^ est nécessairement continu. 



Soit maintenant F un chemin sur lequeî 9 tend vers une limite oj, finie 

 ou infinie. Faisons décrire au centre d'un cercle G la courbe F, pendant que 

 le rayon reste proportionnel au module du centre (le rayon initial du cercle 

 est arbitraire); ou bien dans la bande balayée par le cercle mobile C, 

 9 tendra uniformément vers co, ou bien, dans celte bande, o prendra toute 

 valeur linie, sauf peut-être une valeur. Si l'on se contente de choisir des 

 nombres a,, Co, . . ., c^ tendant vers l'infini et tels que, z^ étant un point 

 donné de F, z^a^, z^a.,^ ..., :;„a-,^, ... soient aussi sur F, ou bien la suite 

 des 9«(^) = ç/(^'j„) est normale en i-^ et converge dès lors uniformément 

 vers co dans une aire entourant z^, ou bien ^^ est un point de l'ensemble E, 

 relatif à la suite a,, a-., ..., a-„ ..., et dans l'ensemble des aires CO, cOo-,, 

 cOffo, . . ., <J5a-,j, . . . fcE) étant une aire arbitraire entourant ^p), ç prend toute 

 valeur finie à l'exception, peut-être, d'une seule. La conclusion est que 

 toute valeur asymptotique co de o (exceptionnelle ou non) est une fonction 

 limite pour une suite de fonctions !p(;:a„) dans une certaine région du plan, 

 ou bien le chemin F sur lequel o tend vers co est limite pour les racines z^ de 

 toute équation ç, (:;) = «, sauf peut-être une valeur de a, en ce sens que le 

 rapport entre la distance d'une racine z^ à F et le module de cette racine 

 tend vers zéro pour une suite infinie convenable de racines z^- 



