SÉANCE DU 28 AVRIL 1919. 84 i 



ANALYSE .NLVTHÉ.MATIQUE. — Su?' la représentai iou conforme des domaines 

 multiplement connexes. Note de M. Cauleman. 



M. Korlbc a déiiionlré en 1906 le ihrorème suivant : Toute f onction qui 

 établit une correspondance conforme entre deux domaines D et D' dont les 

 contours complets se composent de circonférences entières en nombre limité^ 

 est une fonction linéaire. Je me propose de donner ici, de ce théorème, une 

 démonstration tout à fait élémentaire. 



Nous pouvons supposer que D et D' sont tous les deux à distance finie. 

 Soient C^, C,, Co, . .., C„ les circonférences qui forment le contour de D, 

 Cp enveloppant toutes les autres et C|,, C,, C',, . . ., C^^ les contours corres- 

 pondants de D'. Par une transformation linéaire préalable, on peut faire en 

 sorte que Cq coïncide avec Cj, en enveloppant Cj, C!,, . . ., C^^ et, de plus, 

 que trois points de C,, restent invariables. Nous allons démontrer que la 

 fonction / (2), qui effectue la représentation conforme de D sur D', est 

 identiquement égale à z. On sait que /(') est régulier à l'intérieur et sur 

 les contours de D. Supposons par impossible quey'(:;) — z = ^(s) ne soit 

 pas identiquement nul. Désignons par a"', a'J", ..., <rC les zéros de o{z) 

 sur Cv, les multiplicités correspondantes étant /?j", /z.l", ..., n,', ^ et cher- 

 chons la variation que subit logç>(^) lorsqu'on décrit le contour total de D 

 en évitant les points cÇ par des demi-circonférences infinitésimales, situées 

 dans D. En désignant la variation delogÇ'(j) sur Cv (sens direct) par 



[logo(::)]^, on obtient 



/«„ 



(I) [log9(.-)]c„=2T:/--.-V«/. 



/■■=i 



Comme o(z) a au moins trois zéros sur C^ on aura 



"'0 



/. = 1 



Pour les Cv où v ;: i il faut distinguer des cas différents : 

 1° Cv coïncidence avec Cv, 



' [logo (.^)]c,^=2r/-f-r/V ,//•'■; 



