SÉANCE DU -.iS AVRIL 1918. 846 



Gomme N doit être positif ou nul, il y a là une contradiction qui ne 

 peut être levée que si l'on suppose 



9(=)=/(-)-~-=o. 



La même méthode met en évidence le théorème qui suit : 



Soient D ei D' deux domaines mulliplement connexes limités respectivement 

 par les courbes simples Cq, G, , . . . , G^^ eï G[,, G',, . . ., G'„. 



Si n est plus grand que i, il ne peut exister qu'une seule correspondance 

 conforme entre D et D', telle que G, corresponde à G- («'— o, 1,..., n). 

 Gela revient à démontrer que la seule transformation conforme de D en lui- 

 même, qui conserve les contours G, est la transformation identique. Grâce 

 à un procédé connu, on peut supposer que chaque courbe G/ est formée 

 d'un seul arc analytique régulier. 



GÉOMÉTRIE. — Enumération des groupes Jinis de transformations 

 topologiques du tore. Note de M. L.-E.-J. Brouvver, présentée 

 par M. Paul Appell. 



Dans une Gommunication à l'Académie royale d'Amsterdam (voir 

 Procès-verbal de la séance du 29 mars 1919), j'ai démontré que les sys- 

 tèmes de points équivalents pour un groupe fini g de transformations topo- 

 logiques (c'est-à-dire biunivoques et continues) à indicatrice invariante 

 d'une surface fermée et bilatérale S, forment une nouvelle surface fermée 

 et bilatérale M, que j'appelle la surface modulaire de g par rapport à S, et 

 sur laquelle S est étendue à la manière d'une surface de Riemann au sens 

 large. Dans le cas que S est un tore, il s'ensuit delà formule de M. Hurvvitz 

 (voir Malhem. Annalen, t. 41, p. 4o4 ) que le genre de M ne peut être que 

 zéro ou un. Au premier cas, S est une surface de Riemann régulière de 

 genre zéro et l'analyse' du groupe g correspondant est contenue dans ma 

 Gommunication du 3i mars 1919 (voir p. 677-678 de ce tome). Au second 

 cas, S est étendu sur M sans ramification, de sorte qu'une même surface à 

 connexion simple R est superposée à S et à M. Représentons R sur un plan 

 cartésien G de manière que le groupe des transformations de R laissant 

 invariants tous les points de M corresponde au groupe engendré sur G par 

 les deux transformations x = x -{-i^ / — y ^t x' = x, y' = y -\- i. Alors le 

 groupe t des transformations de R laissant invariants tous les points de S 



