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et déterminant complètement le groupe «, correspond au groupe engendré 

 sur C par les deux transformations x' =- x -hn, y=y ^^ x' = x -\- m, 

 y' ='}' -h p (m, n et p désignant des entiers arbitraires). 



Passons aux groupes G à indicatrice variable^ les transformations à indi- 

 catrice invariante de G forment un sous-groupe g de G rentrant dans le cas 

 précédent, donc donnant lieu à une surface modulaire M, sur laquelle 

 l'image de G est engendrée par une transformation topologique et involu- 

 tive à indicatrice renversée i. 



Si M est de genre un, on démontre que, pour une représentation conve- 

 nable de R sur C, la transformation y' de C correspondant à /'s'obtient sous 

 l'une des trois formes suivantes : 



(I) x'=-œ, y'=y; (II) œ'^-x, y'=y+l- (III) x'=- .v,' y' = y -^'x; 



en même temps que le groupe de C correspondant au groupe des transfor- 

 mations de R laissant invariants tous les points de M, est engendré par les 

 deux transformations x' = x -\- \, y' =y et /r'=: a^, y' = r H- i . 



Le groupe^ étant assujetti à la condition d'être invariant, pour la trans- 

 formation j , les entiers m, n et p doivent satisfaire aux conditions sui- 

 vantes : 



Aux cas I et II : im divisible par n ; 



Au cas III : m et n divisibles parjo; ( — ) -h 2 ( — ) divisible par -• 



Si M est de genre zéro, d'après le théorème de Kerékjârtô, la transforma- 

 tion i est topologiquement équivalente à l'une des deux transformations 

 suivantes de la sphère : 



(a) <?'=?, '-!>' = — ^; (|5) o'=cp-+-7r, 



tj; = — 'U, 



cp et ']> désignant la longitude et la latitude dans un système de coordonnées 

 sphériques. 



Nous traiterons séparément les quatre cas I, II, III et IV, distingués dans 

 ma Communication du 3i mars : 



Le cas I se divise en quatre sous-cas, dont le premier présente pour i le 

 cas (p), les trois autres le cas (a). 



a. i échangeant d'une part rt, et «g, d'autre part a., et «,, nous traçons 

 sur M une courbe de Jordan fermée et invariante pour i, sur laquelle les 

 deux couples de points («,, a^) et («o, a,,,) se séparent et dans laquelle nous 

 choisissons la ligne de passage. 



