SÉANCE UV 28 AVRIL 1919. 84() 



aigut' ou nulle, exception faite éventuellement pour certains chemins dont 

 les extrémités forment sur le contour un ensemble de longueur nulle. 



Inversement voici un exemple où la considération du champ complexe 

 fournit une propriété des fonctions de variables réelles. 



Thi:orl:mk. — Si une J'onclion '-^(/i') est mesurable el bornée sur le segment ab 

 où elle est dèjinie, V intégrale (à la manière de Lebesgue) 



possède une vraie valeur au sens de Cauchy, quel que soit .r„ entre a et b, sauf 

 éventuellement en un ense?nble de mesure radie. 



11 s'agit de montrer que l'expression 



i(.r„, c)=y 



..h 



' o{x) cl.r î" ' 9(.f) dj^ 



.f — .r„ 



tend vers une limite Ua;^,) quand £ tend vers o. quel que soit ./;„ sur une 

 « pleine épaisseur » de ab (le complémentaire d'une « pleine épaisseur » est 

 un ensemble de mesure nulle ou ensemble « mince » ). 



s étant un point complexe extérieur au segment réel ab, soit 



H est aisé de voir que la partie imaginaire de H{z) est bornée. Si 

 I z,(.v) I <^ M et si - = x^ -h n-, le coel'ficient de i dans H(:: ) est 



/ 



'a;)yd.. 



(■'•-•'■|)'-t-y- 



II est inférieur en valeur absolue à \ir.. 



Considérons la fonction G(z) = e'"" , définie dans le plan complexe, 

 hors du segment rectiligne ab. Elle est holomorphe et bornée dans le 

 champ où elle est délinie. Donc (sauf à réserver un ensemble mince e, de 

 points a;,,), si z z= x„ -^ iv. (r(-) tend vers une limite quand, x^^ restant 

 fixe, y tend vers o en gardant un signe constant, par exemple le signe -h 

 (théorème rappelé plus haut). Gomme le module de G( ^ ) surpasse r^^'", 

 l'argument de G ( -) tend aussi vers une limite 0(.t„). Si donc (avec y >>o) 



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