85o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



.J(.'r„, Y) = I V(-0(-^— -Po) -^ ^ Qj^ ^ . ii„i J(^^i. y) ^ ()(,r ), 0(./;„ ) existe 



pourvu que x„ soit étranger à e, . 



ÎNous allons montrer que, si Ji\, est en même temps étranger à Tensemble 

 mince 60 où oi .r) n'est pas approximativement continue, J(xo, y) — l(x^,y) 

 tend vers o avec y. Il en résultera que la vraie valeur l(.r„) existe et vaut 

 ()(cCo), sur la pleine épaisseur de ab constituée par les points x„ étrangers à 

 la fois à e^ et à e.,. On a 



(.r — .r^y- -h Y' 



f 



Soit y. un nombre positif fixe aussi petit que Ton voudra, et A^^-^- 

 ^o étant étranger à e^, 9 est approximativement continu en x^,. C'est dire 

 qu'il existe un nombre positif rj calculable connaissant a et 9(^), tel que 

 l'épaisseur relative de l'ensemble ] o(.t) — ^{cCq) |^a, sur tout intervalle de 

 centre o^o et de longueur inférieure à A y], est inférieure à ^•". | Nous prenons 

 en outre Yj inférieur à y.(h — x^,), et à 7.(x„ — a)]. Supposons o<; r<^Yj. 

 Alors 



D'après |ç;(.r)j<CM, le changement de variable x =^ Xf^-\-'kY nous 

 donne 



' ' ' AI I + A- I 



• \ 



Le second membre est une fonction de a, infiniment petite avec a. 



2" Dans les intégrales restantes, posons Ç/(.a-) = Ç/(\/;o) -I- /«(.^■). On a 

 |A(a;)|<^a, sauf éventuellement en des points x formant un ensemble e 

 dont l'épaisseur relative est inférieure à a- sur les intervalles 



(.f\,— Ar. /„ \v) el { .i\, — y. Xfi + y). 

 Sut' r', on a j //( .r) | <^ l> M. ( lonsiilérons les expressions 



L.rL ; 



'^^■x:)y'- djL- /■'' 'o(.cj(y. — Xo)dx 



'■0 ) [ ( ^' — ■^0 '" — y'' I . ,/, _ ,. ( -^ — -^0 )■ -i- .V- 



