SÉANCE DU 5 MAI 1919. B81 



facilement les égalités 



vraies pour n positif, nul ou négatif. En particulier U_, (c) = o. 



Parmi les nombreuses identités auxquelles conduisent ces polynômes, il 

 convient de citer les suivantes : 



(r + 2)F^(M — (r-2)G,^(r) = /;; F,^(Vi -r F„(r) F„_,(c) + F,^_, (r)r=2 -f-r ; 

 U,7(('j — rL„(rjU„_i(('j4-L,^_i(r)=^ j ; G;^ (cj — pG„(r) G„_,(c) + G7,_, fr) — 2 — c ; 



qui mettent en évidence des solutions en nombres entiers de quelques équa- 

 tions de la forme 



ax' + bxy -+- cj- ^= m. 



II. On peut relier ces polynômes à des polynômes connus à l'aide de 

 l'identité suivante, qu'on démontre de proche en proche, 



on peut l'écrire 



(a -t- y/a-— • )" '-= -H„(23:) -f- \'y.-— 1 r„^i(2a). 



Soit alors une équation de Pell X- — D Y- = i, admettant (a, |i) comme 

 solution fondamentale; on en conclut \y.- — i = ^ \ D, et la relation précé- 

 dente donne dès lors, pour toute solution positive, X, \ , de l'équatiou 

 de Pell, l'expression 



Xr=^H„(2a): Y = (3U„_,(2a). 



L'identité (i) conduit à beaucoup d'autres; celles-ci, par exemple : 



lI„,,(r):=H,[H„(0]. U„,_,(iO = U„_.(iOLV2[H„(r)]. 



H„(,^^p(r) = H„(iOG,,[H„(r)], U„(,.,+„. ,(<•) = U„._,(i')Fp[H,„(r)], 



qui donnent des conséquences relatives à la divisibilité des polynômes 

 électrosphériques entre eux. 



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