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nous le verrons plus bas, la formule générale se présente sous une forme 

 assez compliquée. Mais si, en partant de cette formule, on s'inspire d'une 

 méthode de Dirichlet, on voit les résultats se simplifier et Ton arrive à une 

 proposition assez élégante, relative à la mesure des classes, primitives ou 

 non, de déterminant donné. 



2. Formule initiale. — D'après Stephen Smith, la mesure de l'ensemble 

 des classes ternaires, positives et proprement primitives, d'invariants Oet A 

 impairs, est la suivante 



(0 



M(i2,A)=:^(2-/.)n,ri 



/'désignant tout nombre premier, supérieur à ï, divisant à la fois (2 et A; 

 quand à A, il se calcule ainsi : soit posé il = £2, w-, A = A,o-, où co" et 0- 

 sont les plus grands carrés divisant il et A; soit (il, A) le plus grand 



commun diviseur de D et A; on prend A =^ cTT"' ^^ ''^ ^^ ^1 selon que 12, A, 

 est premier ou non à (Q, A). 



Pour en déduire la mesure, ;in(D), des classes proprement primitives de 

 déterminant impair D, il suffit de faire la somme des quantités M(i2, A), 

 pour toutes les valeurs positives entières de (2, A, vérifiant la relation i2-A=;D. 



Prenons d'abord, au second membre de (i), le terme indépendant de X; 

 il donne, dans OlL(D), le terme Oit, (D ), défini par 



<'-) ^'^^^-t^Ui 



2 D X-" I i-T /■ I 



24 .à^lLM.M X^" 7' 



Soit posé, en mettant les facteurs premiers en évidence, 



D=/^«/y«'. . ., i2=pPp'?'.. ., A=p'^''-P... [olpS-, 



a 



2 



On voit aisément que, au second membre de (2), la somme Z se met sous 

 ia forme d'un p7Yjduit, portant sur les p, p\ ...; le facteur de ce produit 

 qui correspond au facteur/? est le suivant : 



I" a impair. Alors p va de o à — — > et le facteur cherché est 



I I 



P '^ P' 



