920 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



2" a pair. On est conduit à distinguer deux sous-cas, a = 4|^ eta = 4[^-i- 2, 

 et l'on examine successivement p pair et p impair. 



Dans le premier sous-cas, on trouve, pour le facteur qui correspond à/>, 



I / 1 \ / I 1 



jf-\^ \ p-J \P'' P* p-'^~' 



et dans le second, 



I \ / i I I 



I-H I I ■ : 



P-J\P- P' ' p"-^' />-? 



c'est-à-dire dans les deux cas i -\ :• 



P- 

 On a donc, étant toujours posé D =p^p' 



I ... 



— SI a impair, 



(5) •■'MD)=-^n', \ , 



p f I ^ : si a pair. 



' P- 



-ili, (D) et 01^2(0) étant alors donnés par (3) et (5), on écrira 



(6) .D\1 ( D ) — OÏL., ( D ) 4- DKo ( D ) ; 



ce qui est la formule assez compliquée dont nous avons parlé plus haut. 



3. Formule dèjînilive. — Considérons maintenant toutes les classes 

 ternaires positives, proprement primitives, de déterminant impair, et choisis- 

 sons, par classe, une forme : par exemple, la réduite unique R correspon- 

 dante 



K rz: a x- H- a' y^- + a" :;- + 2 h" xy + t. h' zx -\- 1 byz ; 



soit k le nombre de ses transformations en elle-même, linéaires, à coefficients 

 entiers et de déterminant -h i ; le déterminant est 



a a' a" + 2 /> h' h" — a IP — a' b'' — r/" b"-, 



ce que nous écrirons plus brièvement aa'a" -h. • .. 



Cela posé, considérons la somme (où s désigne une constante) 



^''* . Oâ^ [aa' a" -+-... y 



étendue à toutes les réduites R. 



