C)2 2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Transformant les seconds membres de (9)01(10) d'une manière bien 

 connue, on trouve 



V_L_ V_L_ V-L y _!_ 



1 1 



2d ,i' 



24 V _î- 



11'' 



n, dans ces nouvelles sommes V, parcourant tous les entiers positifs 



impairs. 



.i;galant maintenant cette dernière expression à la somme (7 ) et chassant 



le dénominateur "^ /i-^% 011 obtient la relation finale 



o^çi ^^y ' y-^^ vjL y_i_. 



" U /.■ (A A'' A" + ...)' -^ «'^' -^ " '""^ ^^ «' ^ "'" ^ ' 



Au premier membre, la somme porte sur toutes les réduites Ax"-+... 

 ternaires, positives, de déterminant impair, primitives ou non^ ma.is propres, 

 c'est-à-dire que A, A', A", B, B', B" peuvent avoir un facteur impair 

 commun, mais A, A' et A" ne sont pas pairs simultanément. Cette intro- 

 duction des formes non primitives provient de ce que, après la multiplica- 

 tion par ^ 11"^% les a, a' , . , ., />" sont remplacés par na, na', . . ., nb", où 



n est impair. 



Quant à ^, il désigne évidemment encore le nombre des transformations 

 (linéaires, de déterminant -+- i) de la forme At- -+- . .. en elle-même. 



Au second membre enfin, n parcourt tous les entiers positifs impairs. 



4. Corollaire. — Egalons, dans les deux membres de la relation précé- 

 dente, les coefficients des termes en D~', où D désigne un entier positif 

 impair quelconque ; nous voyons que : 



La mesure de r ensemble des classes ternaires positives, primitixes ou non, 



mais propres, de déterminant impair donné, D , est égale à —1('2 nn — n'^ ), la 



somme 'L s' étendant aux décompositions en facteurs D = nn'- , où n et n' sont 

 entiers et positifs. 



On reconnaît aisément que cette règle est d'accord avec les règles parti- 

 culières formulées par Eisenstein (Crelle, t. 41, p. 132) pour la mesure des 

 c\sisses primitii^es : par exemple, si D n'est divisible par aucun carré (autre 



