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La coïncidence des deux genres de lignes se trouve ainsi réalisée. Elles 

 appartiennent à des cylindres de révolution autour de l'axe des z. 



Beltrami a fait voir aussi que si, comme nous le supposerons désormais, 

 le mouvement est permanent, en sorte que les lignes de flux ne diffèrent pas 

 des trajectoires, le rapport X existant entre le tourbillon et la vitesse varie, 

 le long de chaque trajectoire, proportionnellement à la densité. Cette 

 propriété, déduite par lui d'un calcul assez compliqué, résulte immédiate- 

 ment de ce que, pour chaque filet de trajectoires, on a, en appelant a la 

 section du filet, p la densité, V la vitesse et ù le tourbillon, les deux 

 équations 



(i) pVff^const. (équation de continuité), 



(2) i2o":=const. ( propriété connue des tourbillons). 



Enfin, on doit également à Beltrami la remarque que la permanence 



d'un mouvement dans lequel la fonction H = [- — (où p désigne la 



pression, supposée dépendre uniquement de la densité) a partout la même 

 valeur exige que, s'il y a des tourbillons, les lignes de tourbillon se 

 confondent avec les trajectoires. 



Ceci rappelé, considérons une veine sortant, à Tétat permanent, d'un 

 réservoir dans lequel le fluide demeure sensiblement en équilibre, et suppo- 

 sons les pertes de charge négligeables. La fonction H est, on le sait, constante 

 sur chaque trajectoire. Comme, à l'intérieur du réservoir, elle a partout 

 même valeur, nous nous trouvons précisément dans le cas envisagé par 

 Beltrami. Il est vrai que l'absence de tourbillons dans le réservoir devrait, 

 d'après le théorème de Lagrange, entraîner leur absence dans la veine. 

 Mais, dans le réservoir, les vitesses ne sont qu'approximativement diffé- 

 rentes de zéro, et, dès lors, rien ne s'oppose à ce qu'il existe également, 

 dans ce réservoir, des tourbillons très lents prenant ensuite, dans la veine, 

 des valeurs appréciables. On peut même affirmer que, si les tourbillons ne 

 sont pas rigoureusement nuls dans le réservoir, ils deviennent importants, 



dans la veine, au même titre que les vitesses, puisque le rapport A == ^ 



varie, sur chaque filet, comme la densité, laquelle demeure supérieure à une 

 limite non nulle. La facilité bien connue avec laquelle naissent des tour- 



