SÉANCE DU 12 MAI 1919. 9^5 



IdIIIoiis au contact d'un fluide avec une paroi porte d'ailleurs à croire que 

 l'absence absolue de tourbillons dans le réservoir est, pratiquement, irréali- 

 sable. 



Nous sommes ainsi conduits à dire que le genre de mouvement perma- 

 nent étudié par Beltrami, loin de présenter un caractère exceptionnel, doit 

 être celui que possède toute veine sortant d'un réservoir. 



Il est à noter que le rapport A est entièrement défini par la forme des 

 trajectoires. Si l'on désigne en effet par «, A, c les cosinus directeurs de la 

 tangente à la trajectoire, au point de coordonnées oc, y, :;, on a 



Il — ciY, r — 6V, w = cV, 



d'où 



Jtp Ou ,, /âc àh\ OV , àV 



et deux équations analogues en a, p, y. Formant alors la combinaison 



puis remplaçant a, p, y par aV«, Wh, k\c, il vient 



Oc Oh\ , I Oa <)c\ [ Ob ùa\ 



oc 00 \ , I (ICI <JC \ ou ua\ 



V a disparu, ce qui établit la proposition. 



L'équation (3) montre que X s'annule chaque fois que les trajectoires 

 sont normales à une suite continue de surfaces. C'est ce qui arrive, en parti- 

 culier, pour une veine parcourant un tuyau de révolution, quand les tra- 

 jectoires sont situées dans les plans méridiens et symétriquement distribuées 

 autour de l'axe. Si celte circonstance se présentait, la veine serait dépourvue 

 de tourbillons et, comme nous avons dit plus haut qu'il y a toujours des 

 tourbillons, nous devons conclure que jamais les trajectoires circulant symé- 

 triquement dans un pareil tuyau ne sont situées dans les plans méridiens. 



Nous pouvons ajouter que la symétrie du mouvement autour de l'axe 

 cnlraine, pour chaque trajectoire, la constance du moment de la vitesse par 

 rapport à cet axe, car on sait que, dans un mouvement doué d'une pareille 

 symétrie, le moment de la vitesse est constant pour chaque ligne de tour- 

 billon, confondue ici avec une trajectoire. 



La quantité figurant au second membre de l'équation (3) a une signifi- 

 cation géométrique qui a été jadis signalée par Joseph Bertrand, et qui est 

 la suivante : à partir du point considéré M, portons deux longueurs égales 



c. R., 19T9, \" Semestre. (T. 1G8, N° 19.) 1^2 



