970 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



1. Déterminants ùnpairemenl pairs . — On part de la formule de Smilli, 

 donnant la mesure de l'ensemble des classes ternaires, positives et propre- 

 ment primitives, d'invariants O et A, lorsque ii est impair et Aezi:2 mod4 : 



(II) ^^("'^^=T^n('-^)' 



/•désignant tout nombre premier (impair > i) divisant à la fois Q et A. 



Par les raisonnements et calculs de la Note précédente, le déterminant^ 

 il'-A, étant Gonné égal à 2D', avec D' impair, on trouve, pour la mesure, 

 .Tc(2D'), de l'ensemble des classes positives et proprement primitives de 

 déterminant 2D', l'expression 



I I 



P P- 



étant posé 1 )' = />*//="' . . . , le produit s'étendan t aux facteurs premiers jo, /j', . . 



— - a 4- :i 



de D', et [J-:, désignant p ' ' ou/j ' +7> ' selon que a est pair ou 



impair ('). 



Les procédés de la dernière Note conduisent alors, avec les notations 

 déjà employées, à la formule suivante : 



' '' O A- ( A A' A" ~ . . . )-^- ~ ^ n' ' ^ n ■'■^- ' 



Au premier membre, la somme x porte sur toutes les réduites ternaires, 



A.r'- -f- \.'y^ -^ A"z'- -f- 2 B >■:; ^- 2 B' z.r + 2 B'.rj, 



positives, primitives ou non, mais propres (-), des déterminants impaire- 

 inent pairs (une réduite seule par classe); /■ est le nombre des transfor- 

 mations en elle-même de la réduite A.r- + ...; AA'A" + ... est le déter- 

 minant de celle-ci. Au second membre, // parcourt les entiers positifs 

 impairs. 



(') Si Ton i)Ose 8;1H ( aD' ) :i^/( D' ), ob^rrvons en passant qu'on a, i)ar (12), en 

 supposant D' et D" premiers entre eux et impairs, /(D'D" ) = /\D' j /( D"i. 



(■-) G'esl-à-flire que A, .V B" peuvent avoir un diviseur commun impair, el 



que A, A', A" ne sont \rAi paiis à la fois. 



