SÉANCE DU 19 MAI I919. 9; 3 



Donnons maintenant à n une des valeurs impaires i, 3, ..., {-iq-^i), 

 on a, par Smith, pour la mesure M(Ii, A), la formule (11); laissant ù' 

 et \' fixes, et faisant la somme des valeurs M(I2,A) pour '7 = 1, 3, ..., 

 {iq -h i), on trouve 



I— -7 I' 



vm(o A) =_(,----, )—n 



ou, d'après (i i ), 



(19) V M(i>,A)=Ç(2^o'+^-i)M(.Q'.-2A'). 



Mais les formules de Smith employées jusqu'ici sont celles de la mesure 

 d'un ordre, (Q, A), dont les classes, proprement primitives, ont leurs 

 réciproques proprement primitives; dans le ^ew/cas où c = 2^ -f- 1, il existe 

 des classes /)/'o^/r/;ze/?/ primitives, d'invariants £), A, à réciproques ?>?zp'o- 

 premenl primitives; on vérifie aisément, en partant des formules de 

 Smith, que leur mesure est 



(20) I\r=227M(0', A')- ^22'/AI(i2', 2A'). 



Additionnons maintenant (18), (19), (20), faisons varier ù, A' de 

 manière que O'-A =D', et ajoutons les résultats; nous trouvons évidem- 

 ment la relation : 



OR ( 2 ■•'7+2 D' ) =: 2 -^ ( 22'/+2 _ I ) ;1H ( D' ) + %^{ 2-1^- -- l)ÛrL{o.Y)' ) 



-H 2^7 Ole ( D' ) — ^ DK ( 2 D' ) ; 



ou, après réductions, et 4^+ 2 étant remplacé par 2v, 



(21) Oit (2^-' D') = 2'-'' OR ( D' ) 4- ^ ( 2-' — I ) OR ( 2 D' ). 



Cette formule, on l'établit de même, reste vraie pour v pair. On a donc 

 aussi, quel que soit v, 



(22) rj.(2^-'^D') = 2^\a(D') + ^" T"^ P-(2t)'), 



et les relations (17) et ^22) donnent [J.(D), quand D est pair, grâce 



