SÉANCE DU 19 MAI 1919. 991 



On peut donc aflîrmer qu'un point P de c^ n'est pas isolé dans C^ si, 

 o2) étant une aire assez petite entourant P, dans l'ensemble des aires cO, (Oa, 

 (Oo--, . . . /(:) ne prend pas une certaine valeur finie. Cela arrivera certai- 

 nement si/i z ) admet une râleur exceptionnelle a, et pour une telle fonction 

 C,j est sûrement parfait : il n'est d'ailleurs pas discontinu, comme le montre 

 la considération des chemins sur lesquels f{z) tend respectivement vers a 

 et vers l'infini. 



^ r; étant fermé dans le cas général se décompose en un ensemble parfait et 

 un ensemble dénombrable. L'ensemble parfait n'est certainement pas nul 

 lorsque la fonction y ( ; ) admet une valeur asymptotique finie : en ce cas, en 

 effet, Crj contient un continu (' ). Pour fournir l'exemple d'une fonction y(;) 

 dont Fensemble C^ soit dénombrable, il faut s'adresser à une fonction dont 

 on soit sur qu'elle n'ait pas de valeur asymptotique finie : c'est le cas des 



fonctions d'ordre <; -• Si l'on forme, en effet, la fonction 



/()=n 



n = l 



qui est d'ordre zéro, ( tJ^» i), la relation 



prouve que, dans toute aire finie A, ne renfermant aucun des points 

 '7**(/f = o, I, 2,..., :c), f('j'^z) tend uniformément vers l'infini avec n. 

 L'ensemble «i:, de /(:) se réduit donc aux poiitts isolés n-'' et à leurs deux 

 points limites o et yi. Il est fermé, mais dénombrable. 



II. On doit faire des remarques analogues pour les fonctions méro- 

 morphes '^(r) admettant une valeur asymptotique co, finie ou infinie. Quel 

 que soit g(\'j\'^ i ), on peut alors définir l'ensemble ferme .1,7 des points où 

 la suite des 'fni'-) = 9 (s a") n'est pas normale. Un point P de vL'^ peut être 

 isolé, comme je l'ai déjà montré (-). On peut affirmer qu'il ne l'est pas si, 

 dans l'ensemble des aires u^, (Pc-, iOa^% . . . (o, aire assez petite entourant P), 

 la fraction z>{:^) ne prend pas deux certaines valeurs distinctes finies ou 

 infinies. 



(') >L\j a des points dans loule couronne, d é|jaisseur arbitrairement petite, limitée 

 par deux courbes quelconques entourant l'origine. 

 (-) (Jo/nptes rendus, t. 168, 1919, p. 883. II. 



