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J'ai déjà donné l'exemple d'une fonction méromorphe admellant un ^'^ 

 fermé, dénombrablc, formé de points isolés et de leurs deux points limites 

 (o, ce) ; une telle fonction a au plus une valeur asymptotique (qui peut être 

 valeur exceptionnelle), car pour toute Jonction o(^) admettant deux valeurs 

 asymptotùjues finies ou infinies distinctes, C^ contient un continu ( ' ). En par- 

 ticulier, pour toute fonction méromorphe ayant deux valeurs exception- 

 nelles, Cr, est parfait et continu. 



III. Si Ton remplace la suite cr, g--, . . ., o"", . . . par une suite t,, t^, a-.(, . . ., 

 (Jni ' •• de nombres dont les modules croissent indéfiniment, il importe aussi 

 de prendre certaines précautions. Considérant la suite des fonctions 

 y„(s) .— y(^c7„ ), suite qui n'est pas normale en o, il n'est possible d'af- 

 firmer, pour une fonction entière absolument quelconque, l'existence d'un 

 ensemble E de points distincts de o où la suite des /„ ne soit pas normale, 

 que si la suite des a„ n'estyj«5 trop rapidement croissante (par exemple, croît 

 moins vite que t"). On peut, en effet, en s'adressant à des suites g-,, très 

 rapidement croissantes et à des fonctions f{z) (d'ordre nul ) dont les zéros 

 soient assez rares, aboutir à des suites fn{~-) ~ /i~-'^fi)y normales dans tout 

 le plan, sauf en o. Je reviendrai ultérieurement sur le rôle que joue dans 

 ces questions la croissance de la suite a-„ et de la fonction /(:;) pour donner 

 des exemples précis. Cependant, il est clair que pour toute fonction entière 

 f(z) admettant une valeur asymptotique finie (ou méromorphe avec deux 

 valeurs asymptotiques finies ou infinies ), l'ensemble E existe et renferme un 

 continu pour lequel la note ( ' ) est valable. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE . — - Sur les développements de Jacohi. 

 Note de M. Erwvxd Kogbetliaxtz, présentée par M. Appell. 



Les polynômes hypergéométriques de Jacobi P|f '^ (a?), orthogonaux dans 

 ( — I , + i), sont définis par la fonction génératrice 



( I — 2 XJ + G- )" '^ ( I 4- - -i- \ ' I — 2 .r3 -H 3-)* ( ' - -+- \/ I — 2 ,VZ -f Z'-Y i ^J \ ■ 



Supposons que f{oc), sommable dans ( — i. H- i), ne devient infinie aux 



(') C^ a des poiiUs dans toiile couronne limitée par deuv courbes quelconf|ucs 

 enlouranl l'origine. 



