SÉAKCE DU 19 MAI 1919. 998 



points froiUiers j' — — i et a? = 4- i que d'ordres moindres que 1 — a 

 et I — j3 respectivement. Le développement de J\x) en série de Jacobi 

 s'écrit 



r i-r R, V / I — a — 3 \ r( « -4- 1) rc /?. -h I — a — 3 ) 



( I ) f{-v) ^ 2-'^^P^ > [ n -\ -V '■ p; — 



n = 



P\f-h.r) f 



(1 H- n'-^i I — / )? 



Pour c. — [î — - — A (i) se réduit au développement ultraspliérique l\c/(x). 

 Darboux, en étudiant la convergence de ( i) en points intérieurs 



(— i<.r<+i), 



a établi ( ') que la série (i) diverge partout, si les ordres d'infinitude de /'(./■) 

 aux points frontiers sont î;;; que , ~ -etr — -• l^^ii" exemple, le dévelop- 

 pement (i) de (i-f-.r)"- diverge partout, si i — 0: >co'^y— -(a<<^-)5 



quoique cette fonction est à variation bornée et continue dans (î — i, 1). 



Mais en se bornant aux polynômes P;f ''^ (a?) avec a + j3 <::^ o et ja — |3|<^i, 

 on démontre le théorème que voici : 



Pou/- a -h j3 <^ o et I a — [^ | <C i ^^^ série ( i) en point x = x^^ est sommable 



(C, o>>i + a — [Î5) avec la somme - [ /( .r,, — o ) H- /"( j\ -l- o)], si f(x) est à 



variation b3rnée dans le voisinage de ce point x„ ; la sommabdité est uniforme 

 dans tout intervalle de continuité de f{ r), compris dans un intervalle^ oii f{x) 

 est à variation bornée. 



Par exemple, le développement divergent de la fonction (i + xy^ où 



o;>y '--, est uniformément sommable (C, ^ i — a — [î>) vers la fonction 



4 2 



développée dans l'intervalle i^x^z — i{t^ o). 



La démonstration dudit théorème est basée sur un théorème de 

 Chapman (*) et sur la sommabilité (C. >> i — a — |5l) de la série 



^.j ^\"+ 2 ;r(„-i-,_a)r(/t + i-3) " ^ ■ " ^^ 



(' ) Journal de Lioiiville^ 3* série, t. i, 1S78, p. SgS. 



(■-) Oaateriy Joiirnat, t. 43, 1912, p. i-53 (^ 1, lliéor. 11, \). 



C. R., 1919, i'^ Semestre. (T. 1G8, N" 20J I^"*' 



