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GÉOMÉTRIE. — Sur les points invarianls des transformations 

 topologiques des surfaces. Noie de M. L.-E.-J. Brouwer, 



présentée par M. Paul Appell. 



J'ai démontré en 1909 que toute transformation lopologique (c'est- 

 à-dire !)iuniforme et continue) d'une surface bilatérale fermée de genre zéro 

 à indicatrice invariante laisse au moins un point invariant ('). Il importe de 

 remarquer que ce théorème n'est valable que pour le genre zéro. En effet, 

 pour chaque surface bilatérale fermée S de genre p supérieur à zéro, on 

 peut construire d'une manière très simple des transformations (et même des 

 transformations périodiques) topologiques, à indicatrice invariante et ne 

 laissant aucun point invariant. 



Premier cas : p ~- i. — Soient o et '\> des coordonnées bicirculaires sur 

 le tore S. La transformation 



Aj = ,], + 1!: 

 possède les propriétés requises. 



Secom) cas : p = 1. — Soient T et T' deux tores congruents, o et ^ des 

 coordonnées bicirculaires sur T. La transformation de ï définie par les 

 formules 



cp'=cp -f- J>, 



possède un seul point invariant p. Au voisinage de P traçons une courbe 

 simple fermée A", invariante pour / et divisant T en une région/ contenant 

 P et une région g. Soient t\ k' ^ f et g' les images de /, X:, f el g sur T' . 

 î^]n identifiant sur les courbes congruentes k et k' les points correspondants, 

 nous formons une surface bilatérale fermée S de genre 2, se composant 



(1) Ma plus simple démoiistralion de celte propriété a été communiquée par 

 M. Hadamakd dans sa Note sur l'indice de Kroxecker, insérée dans la seconde édition 

 de y Introduction à la théorie den fonctions de Tanneuy. l.a même démonstration se 

 Irouve dans un Mémoire récent de M. Iîirkhoff {American Transactions, t. 18, 

 p. .2089) où aussi une extension du théorème est obtenue par la même méthode. 



