SÉANCE DU 26 MAI I919. lO'iS 



de k, g et g' et sur laquelle t et t définissent une transformation possédant 

 les propriétés requises. 



Troisième cas : p^ 1. ■— Soient ç et ,{; des coordonnées bicirculaires sur 

 le tore T, t la transformation de T, défiinie par les formules 



/' — i 



Attachons au [ore p — i anses telles que les /? — i paires de surfaces de 

 contact ne se touchent pas et se correspondent pour les diverses puissances 

 de t. Détruisons ensuite les surfaces de contact, nous obtenons une surface 

 bilatérale fermée S de genre p, sûr laquelle / définit une transformation 

 possédant les propriétés requises. 



Passons aux transformations à indicatrice reaversée. Nous construirons 

 pour chaque surface bilatérale fermée S de genre p une transformation 

 (même une transformation involulive) topologique, à indicatrice renversée 

 et ne laissant aucun point invariant. 



Premier <.as : p = o. — Soit ç- la longitude, -i/ la latitude dans un système 

 de coordonnées géographiques sur la sphère S. La transformation 



9'= 9 +71, 



possède les propriétés requises. 



Deuxième cas : p = 1. — Soient o et j» des coordonnées bicirculaires sur 

 le tore S. La transformation 



?' = —?' 



possède les propriétés requises. 



Troisième cas : p =^ 2.q. — Soit T une sphère, / une transformation de T 

 construite d'après le premier cas. Attachons à la sphère p anses telles que 

 les p paires de surfaces de contact ne se touchent pas et se correspondent 

 deux à deux pour /. Détruisons les surfaces de contact, nous obtenons une 

 surface bilatérale fermée S de genre p, sur laquelle t définit une transfor- 

 mation possédant les propriétés requises. 



