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de la thèse de M. Yaliron, Sur les fondions entières d'ordre nui et d'ordre 

 fini (page 3o) : 



« Pour toute fonction 9(3) dont les zéros vérifient la condition 



« [lOg /•„ + !— Iog/-„]> —, '.>i<tO, /l>fi(„ 



co étant un nombre compris entre o et i , racine de l'équation 



71" 7k" 



-r .1-^ -~ -TT .r- — a- -t- i = o, 

 b 6 



si l'on désigne par r„(<7) le /?'•"""' zéro delà fonction 9(^) — a.[z„{o) = r„J, 

 on aura, quel que soit a, pourvu que | <7 1 <^ A, 



I *'" I 

 \k est un nombre positif fixe. | 



Choisissons alors une fonction entière dont les zéros soient tels que 



(Iog/-„^i— Iog/-„) 



croisse indéfiniment (par exemple r„ = q"\ 7 > i) (elle est d'ordre nul), et 

 choisissons une suite de nombres 1,, a.., ..., j„, ... dont les modules 



2,, II2, ..., '^n-\i •'• soient tels que 



Iog/-,< logi,<log/o<. . .< log/-„< !ogi„< log/-,,^, <. . ., 



de façon que logI„ — log/'„ et log/-„_j.| — logl,, tendent vers l'infini comme 

 logr,,^, - log/-„ I par exemple logI^= ^(log/'„ -+- logr,,^,) ; il est clair que 



les nombres — {p = 1,1, ..., /i = i, 2, . . .), z^, racine de ^(^ ) = n'ont 



d'autre point limite que o et oc. Comme, d'autre part,/) croissant indéfi- 

 niment, -/,(«) tend uniformément vers z^, |dii moins pour |f/|<A], les 



nombres — n'auront^ eux aussi, d'autre point limite que o et yi. 



La famille de fonctions o„(^) = ^(co-,,) est donc normale dans tout le 



plan, hors o et ^c il aurait d'ailleurs suffi, pour le prouver, de montrer 



quC; pour une valeur a^ o, les "'" n'avaient d'autre point limite que o 



