SÉANCE DU 2 JUIN IQÎQ. Io8() 



et ce . (.0 étant une aire quelconque finie du plan, ne contenant pas l'origine, 



dans l'ensemble des aires (D, (D7,, fOo-o, ..., tOa-„, ..., la'-fonction '^{z) tend 

 uniformément vers Vinfini avec n. De telles circonstances ne doivent pas 

 surprendre quand on se rappelle que ç- est d'ordre nul. 



II. Mais le succès de l'exemple précédent tient essentiellement k cç^ que, 



pour toute valeur jinie de «, les points '^ — n'ont d'autre point limite que 



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o et co. On peut montrer facilement que si, pour une valeur finie de «, les 



racines ~-p{a) de l'équation o(z)=:.a sont telles que l'ensemble des lH-i^ 



ait un point limite M distinct de o et oc, il est impossible que la famille 

 des o(^zG,^) = 9„(.s) soit normale dans tout le plan, hors o et co ; en parti- 

 culier, dans toute couronne limitée par deux courbes, C et F, entourant 

 l'origine et comprenant M entre elles, il y a nécessairement un point M^, 

 au moins où la famille des o„(s) n'est pas normale : on en tire les consé- 

 quences habituelles quant aux valeurs que prennent les 9«(^) dans toute 

 aire entourant M^^. 



Kl. Et l'on peut, s'aidant de ce principe, prouver que, ^^omt toute fonc- 

 tion entière ^(r.), et si rapidement croissante que soit donnée une suite s^, 

 s.,, ...,5,„ ..., il existe toujours une suite plus rapidement craissanle t,, 

 c-o, . . ., (7„, . . . telle que la famille des 9„(^) = (p(:;a-,j) ne soit pas normale 

 dans tout le plan (o et ce exceptés). Considérant, en effet, les racines ^o, 

 :;,, .,., z,^, ... de l'équation o(s) = <2 {a fini quelconque) et la suite il,, 



ilo, . . ., S„, . . . définie par !«= ^■> on peut toujours extraire de la suite Z„ 



une suite plus rapidement croissante que toute suite .s,^ donnée à Pavance. 

 J'appellerai o-, , o-^, . . . , a,/, . . . cette suite extraite de la suite 2„. 



Au point :?(, Jes o(;c7„) =; 9.v(-^) ^^^^t toutes égales à «; on est dans le cas 

 prévu au paragraphe II. Dans toute couronne (C, Y) entourant l'origine et 

 contenant z^ à son intérieur, il y a au moins un point My où la famille 

 des. o„ n'est plus normale; cDg étant une aire arbitraire entourant M„, on 

 voit que dans les aires OD,,, (©„ o", , (D„a-o, . . . qui tendent aussi vite quon le veut 

 vers Vinjini, la fonction o(^z') prend toute valeur finie, sauf peut-être une. 

 La notion de croissance permet souvent d'affirmer l'existence de l'ensemble 

 que j'ai appelé E dans mes précédentes Communications. On verra ulté- 

 rieurement qu'elle rend des services analogues pour l'étude des fonctions 

 méromorphes générales. 



c. R., 1Ç19, i" Scmeslre. (T. 168, N" 22.) l4^ 



