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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la sommatioji des séries divergentes. 

 Note de M. Erwand Kogbetliantz, présentée par M. Appell. 



Dans cette Note, nous allons démontrer la proposition suivante, concer- 

 nant la méthode de sommation (R, À, y) par les moyennes typiques de 

 M. Riesz : 



La série divergente^ sommahle (R, A, 3 H- y), où o ^ o et y ^ o, est aussi 

 sommable avec la même somme par l'application du procédé ( R, y, o) aux 

 moyennes typiques d^ordre"^ \ou du procédé(\\. A, o) aux moyennes d ordre o] 

 et vice versa : la série, sommable par la double application du procédé (R, y) 

 d'ordres o>o et y^o, est aussi sommable (R, A, o -h y) avec la même 

 somme. 



Kn exprimant l'équivalence de deux procédés de sommation au point de 

 vue de sommabilité des séries divergentes par le signe ^^, nous avons donc 

 à démontrer qu'on a 



(ï) (R, /,. o)(R, /, -/)~(R> /, a + 7)^(R, À, y)(R, >., o) ( ^* )• 



La méthode de sommation (C, g) par les moyennes arithmétiques est le 

 cas particulier pour A^= wde la méthode (R, A, o) et le fait bien connu (') 

 d'équivalence de deux définitions (de Gesàro et de Hôlder) de la moyenne 

 arithmétique d'ordre entier o = E(o) n'est qu'un cas particulier de notre 

 théorème (I). La méthode de Hôlder n'est que ( C, if et, en prenant dans (^^I) 

 }^,jEEE£7i, o = E(o) et y = E(y), nous en déduisons facilement (G, o) ^' (C, i)*^. 

 La démonstration de (I) est basée sur l'expression" suivante (-) de la 

 moyenne typique d'ordre o ^ o : 



- 



En appliquant à S-'^'(to) le procédé (R, a), cette fois-ci d'ordre y >> o, et 



(') G. Faber (igiS), W. Ford (1910). K. Knopp (1907), W. Sclinee ( 1908), J. Scliiir 

 (i9i3). 



(^) Hardy and Riesz, The gênerai tlieory of DiricJdeis séries {Cainb. Tr.^ n" 18, 

 p. 7.1). 



