SÉANCE DU 2 JUIN 1919. IO9I 



en dénotant la moyenne de ces moyennes par S)^'^'(w), nous exprimons 

 S)'" "' (w) par une^intégrale double, dans laquelle l'interversion d'ordre d'inté- 

 gration nous donne définitivement ; 



X F(^ô, y,ô-T-7, 1— -^ jf/r, 



OÙ F est le signe de la fonction hypergéométrique. On voit déjà que l'on 



a S'jf''''Xco) = S>' ^^'(w)donc 



(II, /, 0) (H, /, y.)r^i\\., >,, 7)(H//, 0), 



ce qui n'est nullement évident a priori. 



En développant F en série hypergéométrique, nous obtenons 



(,) sp--"M = sy V r(„ + o)r(,. + y) ..v^,„ 



'■ ' -U 1 (« + i) r(« 4-0 + y H- i) '^ ^ ' 



n=o 



Le développement (i) permet de conclure que l'existence de 



(0 = 00 



entraîne aussi l'existence de 



lim Sf ^'(w)=:5. 



tO = 00 



De même, en développant dans la formule (') 



■ ,v+5,, , r(y-H04-i) . r'" ,-,, /t\T 



\^w ~ \ ~ \.) ' ) P^^' ^'^ formule de binôme, nous obtenons : 



n = 



Pour Y = E(y ) la série (2) n'a qu'un nombre fini de termes. 



(') Hardy and I'uesz, loc. cil., p. 2-). . 



