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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — La théorie des ensembles 

 et les nombres décimaux. Note de M. Emile Borel, présentée par M. Appell. 



I. Il n'y a pas, après la notion de nombre entier, de notion de mathé- 

 matique plus élémentaire que celle du nombre décimal; de plus en plus, 

 par la substitution du système métrique aux anciens systèmes de mesures, 

 les grandeurs sont représentées par des nombres décimaux, avec un 

 nombre plus ou moins grand de décimales exactes. Si l'on se borne aux 

 nombres décimaux approchés par défaut, on écrira, par exemple, [\,\'-j pour 

 une grandeur comprise entre 4517 et 4? 18; et 4,1700 pour une grandeur 

 comprise entre 4*1700 '^^ 4jï7oi. D'une manière générale, un nombre 

 décimal du /?''"'* ordre, c'est-à-dire comportant ti chiffres après la virgule, 

 représente une grandeur comprise dans un intervalle décimal du 

 quatrième ordre ( les valeurs comprises entre 4 ? 1 700 et 4 , 1 70 1 constituent un 

 intervalle décimal du quatrième ordre ). Si, pour fixer les idées, on se borne 

 aux nombres décimaux compris entre i et 10, on peut faire correspondre à 

 chacun de ces nombres un nombre entier obtenu en supprimant la virgule; 

 inversement à tout nombre entier, en plaçant une virgule après le premier 

 chiffre à gauche, on fera correspondre un nombre décimal compris entre 

 I et [o, et par suite, un intervalle décimal : à 417 correspondra 4ii7 et 

 à 4' 700 correspondra 4,1700. 



'1. Les nombres décimaux ont été fréquemment utilisés pour fournir 

 des exemples dans la théorie des ensembles (M; les recherches sur les 

 ensembles de mesure nulle que j'avais commencées peu de temps avant 

 la guerre (- ), et que je n'ai pu reprendre que récemment, m'ont conduit 

 à ce résultat que, pour une catégorie de recherches très générales, et en 

 particulier pour l'étude des relations entre le continu et les ensembles 

 denses, l'emploi des nombres décimaux ne fournit pas seulement des 

 exemples, mais une méthode : plus précisément, les résultats, en apparence 

 très particuliers, auxquels conduit l'étude des nombres et des intervalles 



( 'j \oir, par exemple, me> Lerons sur la tliéorie des fonctions i i" édition, 189N. 

 p. 134; et T' édition, 1914, p. 197). 



(-) Z,es ensembles de mesure nulle {Bulletin de la Société mathématique, iqiS); 

 The ai^gregales of zcro measure ( The Hool of the Opening of thc Jiicc Institute, 

 Houston. T<'.\as). 



