SÉANCE DU lO JUIN 1919. Il49 



décimaux, sont en réalité immédiatement extensibles aux cas les plus 

 généraux. De même que les nombres décimaux suffisent pour mesurer les 

 grandeurs, les ensembles décimaux, c'est-à-dire définis au moyen d'inter- 

 valles décimaux, suffisent pour étudier les ensembles. 



3. De nombreuses propriétés des ensembles et des fonctions se rat- 

 tachent à la manière dont se comportent à l'infini certaines séries, à leur 

 allure asymplotique ; il est clair que cette allure asymptotique n'est pas 

 modifiée si l'on modifie un nombre quelconque des premiers termes de la 

 série; si l'on remplace, dans une série divergente, les dix millions premiers 

 termes par les ternies correspondants d'une série convergente, la série 

 reste divergente. Néanmoins, dans la pratique, sauf dans le cas particulier 

 des séries divergentes que Poincaré a appelées asymptotiques , Vd\\\xv<i 

 asymptotique d'une série est généralement déterminée par un nombre 

 relativement petit de ses premiers termes; de même, la considération d'un 

 nombre relativement petit d'intervalles décimaux (par exemple d'un mil- 

 lion, ce qui revient à considérer les nombres décimaux de 5 ou 6 chiffres), 

 suffira généralement pour donner une idée exacte de l'allure asymptotique 

 d'un ensemble linéaire quelconque. On passera sans difficulté au cas de 

 plusieurs dimensions. 



La théorie des ensembles, qui passe, parfois à juste titre, pour une des 

 branches les plus ardues de l'Analyse, se trouve ainsi ramenée, dans bien 

 des cas, aux mathématiques à cinq décimales de l'ingénieur et du 

 physicien. 



^i. Je signale, très brièvement, en terminant, quelques applications des 

 considérations précédentes et de remarques connexes. 



On choisit au hasard dans l'intervalle fondamental (de i à 10) A,^ inter- 

 valles décimaux du quatrième ordre, distincts ou non. En répétant cette opé- 

 ration pour chaque valeur de n, arrivera-t-on, au bout d'un nombre infini 

 d'opérations, à recouvrir l'intervalle fondamental? On prendra A„ = io"A 

 et l'on utilisera les m:îthodes des probabilités dénombrables. 



Construire un ensemble de mesure nulle dont la mesure asymptotique soit 

 supérieure à celle d'une série convergente donnée, par exemple à la 

 série Iro '^, c'est-à-dire qui ne puisse pas être enfermé dans des intervalles 

 respectivement égaux aux termes de la série. Y a-t-il, en dehors des 

 ensembles énumérables, des ensembles dont la mesure asymptotique soit 

 inférieure à toute série donnée? 



Etudier les séries à convergence asymptotiquement uniforme dans un 



