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domaine, c'est-à-dire telles que, pour tout point de ce domaine, le rapport 

 du terme général de la série au terme général d'une série convergente fixe 

 tende vers zéro. Si l'on ne s'astreint pas à ne considérer que des fonctions 

 bien définies et calculables, il est aisé de construire des séries dont la 

 convergence n'est pas asymptotiquement uniforme; l'étude de l'ensemble 

 des séries à convergence asymptotiquement uniforme parait devoir être 

 importante et féconde; les exemples généralement donnés de séries 

 convergentes, mais non uniformément convergentes, sont à convergence 

 asymptotiquement uniforme. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur lui mode de déjinition d'une classe de 

 fonctions muliiform.es dans tout le domaine d'existence de ces fonctions. 

 Note de M. Pierre Boutroux, présentée par M. Hadamard. 



On sait que, s'il est théoriquement possible de représenter toute fonction 

 multiforme y(x) dans tout son domainr d'existence, par des fonctions uni- 

 formes, r(/^ et r(ï), d'une variable auxiliaire, cette possibilité ne paraît pas 

 fournir les bases d'une classification et d'une étude spécifique des différents 

 types de fonctions multiformes que les problèmes de l'Analyse, et en parti- 

 culier la théorie des équations diftérentielles, nous amènent à considérer. 

 Les fonctions uni formisantes ne mettent pas en évidence (le plus souvent) 

 les propriétés spéciales des fonctions étudiées; mais elles masquent au con- 

 traire ces propriétés sous des caractères généraux qui tiennent à leur propre 

 structure. C'est pourquoi il est permis de penser que, si une théorie orga- 

 nique des fonctions multiformes est un jour édifiée, elle mettra en œuvre des 

 modes de représentation différents de ceux dont on a fait usage jusqu'ici. 



Pour acquérir une idée des points de vue auxquels pourrait se placer la 

 future théorie, j'ai cherché à étudier en détail une famille particulière, rela- 

 tivement simple, de fonctions multiformes, en me posant à son sujet la 

 double question suivante : i° représenter les fonctions { c'est-à-dire la totalité 

 de leurs branches^ dans tout leur domaine d'existence; 2° mettre en évidence 

 les propriétés qui caractérisent leur structure. 



J'indique ci-dessous le principe de la solution à laquelle j'ai été conduit, 

 en l'exposant sous la forme qui s'offre la première, quitte à examiner ulté- 

 rieurement s'il ne sera pas plus avantageux de présenter cette solution dans 

 des termes différents. 



Je considère l'équation différentielle du premier ordre que j'ai déjà eu 



