SÉANCE DU lO JUIN 1919. Il5l 



l'occasion crétudier comme l'une des plus simples parmi les équations non 



inlégrables 



(i) zz' = ?ïniz -^ 2.r^-h bx -^ c. 



Les intégrales de cette équation ne deviennent infinies en aucun point 

 ordinaire ou singulier algébrique. Leurs points critiques sont les points .r 

 où ^ = o. On peut, d'autre part, très simplement, séparer (') les branches 

 de cette fonction en se plaçant au point de vue suivant : 



J'ai étudié par des méthodes asymptotiques les « branches d'intégrales» 

 obtenues en partant de conditions initiales x^^^ ;„ et mouvant r sur 

 l'ensemble des rayons rectilignes issus de ^q. Chacune des branches ainsi 

 définies se comporte comme la racine carrée d'un polynôme en x du 

 quatrième degré et tend vers l'infini avec x en ayant pour partie princi- 

 pale, soit X-, soit — x'-. Dans le premier cas, la branche est représentée au 

 voisinage de l'infini par le développement 



( 1 ) z =z.x- + mx 4- ( - -I- m- ) -+- (c + bm 4- 2 m^)œ~^ + ( C, -i- fn \os^x)x~- 



4- suite du développement en puissances de x~^ et (Ci 4- ri^ log r ).r"'-, 



où l'on a r^, = 377i(c ■+- bm -h 'iin^ ), et où G, est un paramètre dont la 

 valeur varie avec la branche envisagée. Dans le second cas, la branche est 

 représentée par un développement analogue. 



(Ilj z =^ — X' -^- mœ -\- développement en puissance de x^ et (G) 4- Tio log j?) J7~-, 



OÙ Tjo est une constante et Co un paramètre. Supposons que le point ini- 

 tial X(^ assigné aux branches d'intégrales soit rejeté vers l'infini sur un 

 rayon fixe donné. Les branches issues de ce point se répartissent alors 

 entre deux familles : branches représentées, au voisinage de l'infini, par le 

 développement (1 ) et branches représentées par le développement (II). Je 

 fixe mon attention sur la première famille et je conviens de toujours 

 prendre pour valeur de logr, dans (I), la valeur dont la partie imaginaire 

 est comprise entre — ir. et ît:. Dans ces conditions, à toute valeur de C, 

 correspond une branche d'intégrale unique de la première famille et rècipro- 



(') La séparation des liranches d'une fonction inulliloime est une opération arbi- 

 traire qui peut toujours se faire de plusieurs manières. Le mode de séparation adopté 

 ne peut être justidé que par les résultats auxquels il conduit, 



