II. '>2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



quement (C, joue le r<Me d'une l'aleur initiale prise par la branche en un 

 point donné; mais, tandis qu'à un système de conditions initiales x^^ ^^ 

 peuvent correspondre /)/w«'eMr5 branches d'intégrale [si-^r^ est point critique 

 pour 5 = 5u], cette circonstance ne se présente pas avec le paramètre C, ). 



Cela dit, et puisque nous savons étudier isolément les branches de fonc- 

 tion ^(a?), le problème que nous avons à résoudre consiste à déterminer 

 l'ensemble des branches, et, par conséquent, l'ensemble des valems de C, 

 qui appartiennent à une même intégrale de (i) (et de même pour le para- 

 mètre Co). D'ailleurs, passer d'une branche de ^(^) à une autre (les 

 branches étant supposées toutes deux de la première famille) revient à 

 opérer sur C, une certaine substitution. Le problème se ramène donc en 

 définitive à l'étude d'un ensemble de substitutions. Or, l'étude des pro- 

 priétés de l'équation (i) montre que la question peut être résolue de la 

 manière suivante : 



L'ensemble des substitutions relatives à C, forme un groupe pouvant 

 être défini au moyen de trois substitutions fondamentales. Les fonctions 

 substitutrices '«p,(C,), ..., 'j/.t(G,) sont des fonctions multiformes à une 

 infinité de branches; mais on peut (en armant le plan C, de coupures con- 

 venables) isoler une branche particulière de chacune de ces fonctions ainsi 

 que de chacune des fonctions inverses, et, pour définir entièrement le groupe^ 

 il sajfit alors d'envisager les branches de fonctions ainsi isolées, l^n d'autres 



termes, désignons par i, ( C,), . . ., '|., ' (C,) les branches que nous isolons, 

 et appelons (S,), ..., (S.), (S;'), ..., (S;') les substitutions correspon- 

 dantes, qui se trouvent définies univoquement pour tout C,. Considérons 

 ensuite, pour une valeur quelconque de C,, une détermination de '^^{^^^^) 



distincte de ]/, . Je constate que cette détermination est une combinaison des 

 six substitutions (S,), . . ., (S;;'). La même conclusion s'appliquant à 'j^o, 'J^it 

 et aux fonctions inverses, il s'ensuit que le groupe obtenu en combinant par 



multiplication les six substitutions engendrées par les branches '^,, ... est équi- 

 valent au groupe total défini par les fonctions multiformes -];, , . . ., 'j^.,. 



