SÉANCE DU H) JUIN 1919. Il53 



ARITHMÉTIQUE. — Sur la distribution des nombres premiers. 

 Note (' ) de M. Harald Cramer, présentée par M. Hadainard. 



Etant donnée une équation linéaire quelconque à deux inconnues : 



(i) a.F -\- by + c — o, 



on peut se proposer d'y satisfaire par deux nombres premiers, x et v, et 

 d'étudier en particulier s'il y a une inlinité de solutions de cette espèce. 

 C'est là un problème difficile, renfermant comme cas spéciaux : d'une 

 part, le célèbre théorème de Goldbach (Tout nombre pair est égal à la 

 somme de deux nombres premiers):, d'autre part, le problème des nombres 

 premiers jumeaux (Existe-t-il une infinité de couples de nombres premiers 

 avec la différence l'T). Ces problèmes ont donné lieu, récemment, à d'inté- 

 ressantes recherches de MM. Jean Merlin et Vig-go Brun (^). Dans ce qui 

 va suivre, nous envisagerons le problème d'un tout autre point de vue que 

 celui adopté par ces auteurs. 



Supposons marqués dans le plan des coordonnées rectangulaires ^r et r 

 tous les points P dont les deux coordonnées sont des nombres premiers 

 positifs ou négatifs. L'équation (i) représente une droite D dans ce plan, 

 et c'est la position de cette droite relative aux points P qui nous intéresse. 

 Si elle contient un certain nombre de ces points, chacun d'eux donne 

 une solution en nombres premiers de notre équation (i); s'il y a des 

 points P à une distance très petite de D, il y a des systèmes de deux 

 nombres premiers satisfaisant à, peu près à cette équation. Nous dirons 

 que D est une droite limite pour les points P si l'on peut trouver une infinité 

 de ces points dont les distances à D tendent vers zéro. Cela posé, nous 

 démontrerons le théorème suivant : 



Soit A un point donné. Suj- tout arc d\in cercle quelconque ayant A pour 

 centre, il y a un ensemble non dénombrable de points B tels que AB est une 

 droite limite pour les points P. 



Supposons, pour fixer les idées, que le point A soit à l'origine. Considé- 



(') Séance du 3 juin 1919. 



(-) Mkrli>, Bulletin des Sciences math., t. 39. p. 121, — Brun, Comptes rendus., 

 t. 108, 19 rg, p. 3',|. 



G. R., i9i;j, i" Semestre. (T. 168, N° 23.) I ^^ I 



