II 54 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



rons tous les nombres de la forme -, où p el q désignent des nombres 

 premiers positifs, et associons à chacun d'eux l'intervalle 1^,,^ : 



q q- q q- 



Si le nombre / se trouve à l'intérieur d'une infinité des 1^^,^, la droite 

 V = ^ij? sera une droite limite. Formons donc la fonction A(£,/) égale au 

 nombre des 1^,^ renfermant le nombre t à leur intérieur et satisfaisant de 

 plus à la condition q'S^'i. Il est évident que tout revient à démontrer qu'il 

 existe toujours, entre deux nombres positifs /, et t., >/,, un ensemble non 

 dénombrable de valeurs ^o telles que /i(E, /o)-^=c> lorsque ^-vcc. 



L'intégrale 



(2) r ii{'i,i)dt 



représente évidemment la somme de toutes les parties des 1^,,^ avec q"i^ qui 

 tombent dans l'intervalle (/,, t.j.). Or, on déduit des propriétés bien connues 

 des nombres premiers que cette somme tend vers l'infini avec E ; il en est 

 donc de même pour l'intégrale. On en conclut sans peine qu'il y a entre t^ 

 et /o une infinité de valeurs/,, telles que /)(i,lo) tend vers l'infini avec ^. 

 Cela se déduit d'une propriété fondamentale de la fonction A, qui peut 

 s'exprimer ainsi : ^' et t' étant positifs et quelconques, on peut trouver 

 sur l'axe des l un intervalle 12 aboutissant au point /', tel qu'on ait 

 h (h, t)^h(^\ t') pour ^^;', tant que t appartient à 12. 



Enfin, supposons que l'ensemble des valeurs t^ comprises entre /, et t.;, 

 soit dénombrable. En modifiant d'une manière convenable la définition de 

 la fonction h pour ces valeurs de ï, nous serons amenés à une fonction qui 

 ne tendra vers l'infini avec ^ pour aucune valeur fixe de / entre /, et t^ ; 

 cependant cette modification ne changera ni la valeur de l'intégrale (2), ni 

 la propriété fondamentale qui vient d'être énoncée. Cette contradiction 

 démontre notre théorème. 



