II 86 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



si z est une fonction quelconque de u, z' une fonction quelconque de v, les 

 expressions 



'- du au'' 



satisfont à une même équation à invariants ég-aux (Darboux, Leçons, 

 1^ partie, p. i54). 



Gela posé, le problème proposé comporte deux séries de solutions. Dans 

 la première série, la solution générale ne renferme que des constantes arbi- 

 traires; dans la deuxième série, la solution renferme une fonction arbitraire 

 de u ou de v. 



Première série. — Je désigne par 5,, So, . . ., ^0^+3 des fonctions de u qui 

 représentent les paramètres d'une courbe k ■+- i fois isotrope; par z\, 

 z-l, ..., z'.^f^^^ des fonctions analogues de la variable c. Je pose 



{ i = i, 2 2/i -h 3). 



Les fonctions C et 'Ç- satisfont à une équation à invariants égaux et l'on a 



Je fais une substitution orthogonale à coefficients constants sur les ^/Ct 'Ç-, 

 ce c|ui les transforme dans les fonctions / , , y.,, ■■•, /u+fi- Je suppose que 

 les fonctions z et z' soient telles que les équations 



( 3 ) Yj 4- iXi = o, y s -f- i-/', — , /u. - 1 + '"'/a = o, y,./,^,, =z o 



soient équivalentes, aux équations ( ' ). Si je pose 



Les fonctions 6 ainsi définies forment une solution du problème posé. En 

 écrivant que les équations (3), considérées comme fonctions linéaires des 

 quantités P et Q, forment un système équivalent au système (i), on aura 

 des relations linéaires entre les .r, et les z^ d'une part, puis entre les x^ et 



