SÉANCE DU 16 JUIN 1919. I187 



les z'. d'autre part; ce qui permet de former les équations auxquelles doivent 

 satisfaire les fonctions :; d'une part, puis les fonctions z' d'autre part. 



En général, après avoir effectué au préalable une substitution orthogo- 

 nale sur les r, puis une autre sur les z\ on pourra ramener les équations (3) 

 à la forme suivante : 



i ç,+ ir; =.<. Uk + iK',K = o. 



On aura alors 



\ By ='— sin co Ca/.+i + cosoj Ç,/ rr -. Ç2/+1 ~ Ç2/.-H > 



{ij\ ,' ' '>!'.->-■ ./. .1 sino) COS03 -"^" 



En écrivant que les équations (i) et (5) sont équivalentes, on trouve 



1 a-,:=GJiC,, X^=irj)^Z^. .... -*''2/.= f«>.2i--2/.i -*"2A.+1 = ^'■ COS GJ ^jA-t-l ) 



Si donc on introduit les deux formes quadratiques 



'J;(5) = (ji\ z\ + «2^2 + . . . 4- ]:/-cos^ojJ 2/1 + 1) ■* 



on voit que les fonctions z satisfont aux équations 



(8) <?( = ) = "• ?(È)=". ■•■• ?(è^) ="• 



(9* «=) = °. K^)=° *(£^ 



On aura des équations de même forme pour les z' . 



On est donc ramené au même problème que dans la recherche des sur- 

 faces à courbure totale constante pour lesquelles l'équation du réseau des 

 lignes de courbure est intégrable. 



Deuxikmk série. — On la forme comme la précédente en augmentant 

 d'une unité le nombre des fonctions z. On aura ici 



r,z= P.-, + P, ^ +. . .+ P, ^ (z = r, 2, . . .. 2A- + 4), 



du du 



