SÉANCE DU 16 JUIN I919. ÎIqS 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries trigonomètn 

 Note de M. Erwand Kogbetliaxtz, présentée par M. Appell. 



Il est bien connu (jue la convergence en un point = 0„ du développe- 

 ment Irigononiétrique d'une fonction /(O), sommable dans (0,2 t:), ne 

 dépend que de la conduite de/i 0) au voisinage du point 0„, mais l'influence 

 des points singuliers, étant trop faible pour détruire la convergence en 

 d'autres points de l'intervalle (0,27:), peut néanmoins déterminer le mode 

 de la convergence : en changeant, par exemple, l'ordre de l'infinitude 

 de/(9 ) en un point 8 = ^ de l'intervalle (0,2-), on fait converger plus ou 

 moins fort son développement trigonométrique en un point quelconque de 

 cet intervalle. 



On peut comparer les modes de la convergence de deux séries conver- 

 gentes, en les sommant par la méthode des moyennes arithmétiques 

 d'ordre négatif g> — i, et nous arrivons ainsi au problème de sommation 

 ( C. <; o) des séries trigonométriques. 



Dans celte Note, nous étudions le lien qui existe entre l'ordre y, d'infini- 

 tude de/(0) en un point = H ( o ■< : <[ 2-, a <^ i) et l'index de somma- 

 bilité (C, <; o) de son développement trigonométrique en un point 

 quelconque de rinlervalle (0,27:). Si /(O) est à variation bornée dans 

 (o, : — t) et ( ; 4- £, i~) et de la forme /(6 ) = A | — '^ |-«+ o(0 ) pour 

 I ~ H l^c, ç.(0) étant à variation bornée dans (ç — £, ^ -i- s), on a le 

 théorème : La série trigonométrique de f(j)), convergente partout dans(o, 2-), 

 sauf le point ^) = c, n'est nulle part sommable (C, o5a — i); elle lest 



(C, '^ y. — i ) et elle a pour somme - ]/{ — o ) +y"(0 -t- o) ; partout sauf 



le point 6 = ç . 



Les moyennes d'ordre ■< a ~ i oscillent entre + :c et — ce, mais les 

 bornes d'oscillation des moyennes d'ordre = a — i sont linies. 



On démontre le théorème, en s'appuyant sur les propriétés suivantes de 



la série trigonométrique - -h V !^ _, dont nous désignons la moyenne 



arithmétique d'ordre o> — i par S^f (0) : 



I. Quel que soit o> — i, on a limS,f'(0) = ^ pour o<0<27:, la 

 sommabililé ( (J, > - i) étant uniforme dans (î, ir. — i). 



c. B., iq!(, i" Semestre. (T. 168, N- 24.) IJ^ 



