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II. |Sf(G)|</-, pour fixe; la constanle X-, ne dépend pas de 0, n et 

 tend vers l'infini quand S-> ( - i). 



La moyenne .y|f'(0) de la série - +- -G„0 n'est que la dérivée de S^^''(0) 



et, en désignant par/;f (0) la moyenne du développement irigonomélrique 

 de /(O), nous avons 



' /{u).c{e-u)du= + +/=: a;, + .•>;; + . v;. 



En appliquant aux intégrales .\^ et r'^l le second théorème de la moyenne, 

 nous avons, grâce à I et II pour chaque S>> — i, 



lim y„ = - [/( ^ — " ) +/( + •' )] el- l'«i K = <>• 



De même, en utilisant la formule approximative pour S','' ( U), 



[{"^"^y-'-^^] 



1^ r. -s COS 



S ?' ( Ô ) = — ï^ -^ — -— ^-^ -^ . ='- + r',f' [Ô) 



2 sin - 



(i>ô>-i), 

 OÙ 



r(/i + i) /•' (i + o^"+^f/^ /.2 



0^ ( I — 2 ^ cos 6 + /■- ) , . ■ . 9 



(« -t- i) sin- - 



on parvient à la conclusion 



.>;=:COSW„0 «*-'^^ ^^ +siuoj„() n^-'-^ ___+(,)(,), 



OÙ 



2 0)„ — ( 2 //, + I -h- ) ( 5 — -; ) ( I -1- ) -. 



Donc, pour o <; a — i, \ oscille enlrc ~ --r, ai -\- yi ; pour o = a — i, ses 

 bornes deviennent finies et, pour o >> a — i, lim-'>)'^=o. q. i:. d. 



Notre théorème s'accorde très bien avec le fait connu, que les coefficients 

 de Fourier de /(G ) sont de la forme ()(/i*~i). Vu que la convergence n'est 

 que la sommiibilité (^C, o = o), il est démontré qu'on ne peut pas baisser 

 l'index o = o dans le théorème classique de Riemann, mentionné au début 

 de celte iNole. 



