SÉANCE DU l5 JUIN 1919. 1243 



congruents au pentaèdre fondamental, on voit de suite que les réduites 

 positives d'Hermite, quiadmetlenten elles-mêmes d'autres transformations 

 que les deux évidentes .z:'=zx, y'=zy, (£ = d=i), ne peuvent être que 

 celles dont les points représentatifs sont sur les arêtes circulaires du pen- 

 taèdre ou sur Tare y? section de la face sphérique ç--j- rf -\- t- = i par le 

 plan ^ = o. D'ailleurs, pour une réduite (A, B, B^, C), primitive ou non, 

 mais propre^ le point représentatif ne peut être sur une des arêtes circu- 

 laires ; pour qu'il soit sur l'arc y, il ^aut et il suffit que, en posant 

 B = B, H- i\i Bo, on ait C = A, B, = o, 2|BJ ■< A, avec, naturellement, 

 A = A- — iW,. En ce cas, la réduite admet en elle-même, outre les deux 

 transformations évidentes, ces deux autres : x' = £j ; y' = — sa; (s = ± i). 

 Distinguons maintenant plusieurs cas, en supposant \ impair. 



1° A;^± 3 (mod 8). Alors l'équation A = A- — iW, est impossible en 

 nombres entiers; donc, pour toutes les réduites, on a ^- — 2, et, si ^^(A) 

 désigne le nombre des classes positives d'Hermite, primilives ou non., mais 

 propres.^ de discriminant A, dans le corps \ — 2, on aura ici Fo( A) = 2D]l( A), 

 ou, en vertu du n° 2, 



(6) 



'■>(^' = ;(^)2<^) 



la somme portant sur tous les diviseurs positifs entiers, cl., de A. 



2° A^=±i (mod 8). L'équation A = A-— 2B^, avec 2|B2|-<A, est 

 possible : or, j'ai déjà rencontré ces représentations de A et montré qu'elles 

 sont en nombre égal à celles de Dirichlet : A = X^ — 2^^, avec Y>o, 

 2X>>3Y('); leur nombre est donc égal à celui de ces dernières, c'est-à- 

 dire à "^(-7)' avec les notations ci-dessus. Tel est aussi le nombre des 



réduites d'Hermite, de discriminant A, pour lesquelles A" = 4, tandis que, 

 pour toutes les autres, k = 2 ; on en conclut dès lors, avec la même défini- 

 tion de F.(i ), 



les sommes portant toujours sur tous les diviseurs ri de A. 

 Soit maintenant P = i . 



( ' ) Journal de Matliéniatiques^ 6" séi ie, t. o, 1907, p. 383. Il y aurait une exception 

 si A était le double d un carré, cas qui se trouve écarté par l'hypothèse de A impair. 



