1244 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



On raisonnera d'une manière analogue, en utilisant le pentaèdre de 

 Picard et l'on arrivera ainsi aux résultats qui suivent. Désip:nons par : 



F,(N) le nombre des classes d'Hermite positives, primitives ou non, mais 



propres, de discriminant N, dans le corps \l — \ \ 

 T(N) le nombre des diviseurs (entiers et positifs) de N; on aura 



1 \ Li / .— \ d y. ,, 



I 



'J"(à) (A impair). 



(8) ''■.'^) =r(-T)2^^' 



les i^ portant encore sur tous les diviseurs, d^ de A. 



4. Application aux formes binaires et positives ordinaires. — Soit d'abord, 

 dans le corps \l — 2, une réduite positive joroyore d'Hermite (A,B, B^, C), de 

 discriminant impair., A. SiB = B, -f- i\j'i B^,, nous l'écrirons (A, B,, Bo, C); 

 les conditions deréduclion sont2|B, | et 'i\ B^j^ A ^C ; déplus, si A = C, ou 

 si 2] B, I = A, on devra y ajouter B, ^o; si 2 | B.j| = A, on ajoutera Bo> o, 

 et ces conditions suffisent pour qu'il n'y ait qu'une réduite par classe/);'o/v/"e. 

 On a enfin A = AC — B^ — 2B*,. 



Faisons alors correspondre, à la réduite d'Hermite (A, B,, Bo, G), la 

 forme quadratique binaire (de Gauss) ordinaire (A, B,, G); en vertu des 

 inégalités ci-dessus, celte dernière est positive et réduite dans le sens de 

 (lauss, primitive ou non, mais propre; son discriminant, AG — B^, est égal 

 àA + 2B":et2|B,|<A. 



Inversement, donnons-nous une réduite de Gauss (A, B,, G), primitive 

 ou non, mais propre, de discriminant A + 2/^-, avec A^o, et 2A^ A. 



Si h = o, il lui correspond la réduite propre d'Hermite (A, B,, o, G); 

 si A^o, il lui correspond les dtmx réduites propres (A, B,, //, G), 

 (A, B,, — A, G); toutefois, si 2./i=:A^ la première seule est réduite, 

 puisque, dans le cas de 2|Bo| == A, il faut aussi Bo^ o. 



De là, les conséquences qui suivent : 



Désignons par 4>/j(N), h étant -^ o et N >- o, le nombre des réduites 

 binaires et positives de Gauss, primitives ou non, mais propres, de discri- 

 minant N, pour lesquels le premier coefficient A est^2A. Sous une autre 

 forme, $^(N) est le nombre des classes binaires propres et positives de 

 Gauss, de discriminant N, pour lesquelles le minimum, tj. (c'est-à-dire le 

 plus petit entier, non nul, représenté parles formes de la classe) est tel 



