SÉANCE DU 23 JUIN I919. ia45 



que [J.>2/<. Ajoutons la convention que, si [j. = ih, la classe compte, dans 

 <t>/,(N), non pour une, mais pour une demi-unité. 



Il résulte alors de la correspondance entre les réduites d'Hermite et de 

 Gauss que la somme 'I>o('^) -+- ~^\ (A 4- 2. i'*) -f- . . . -+- 2<Ï>^(A + 2//-) + . . . 

 est égale à F., (A), et les formules (6) et (7) donnent ainsi les relations : 



a»„(A) + 2<I>,(A H- 2. i^) +...+ 2<I»/,(A+ 9. A^) +...r= — Aj'lL.' \ 2^/(^) 



si A =±:3(mod8); 



a.„(A)H-.a>,(A^...^)-.... + .(P.(A + ./.^)+...= ^(z^S^^(zzl)..L^(^ 



si A =± I (mod 8). • 



Les sommes I, aux seconds membres, portent sur tous les diviseurs d 

 (entiers et positifs) de A. 



Remarque. — Aux premiers membres, le nombre des termes est limité; 



car, pour une réduite de (iauss de discriminant A -h 2/^-, le minimum u. 



. <- /a -I- 2 /<■- . . , 1 , , . 



est, ^21/ r, ; par comparaison avec [x>2//, on en déduit que, si // 



dépasse y Aj *1^;( A -f- 2 A-) est sûrement nul. 



5. Considérant maintenant le corps s — i et opérant d'une manière ana- 

 logue sur les réduites d'Hermite et de Gauss, on arrive, après quelques 

 calculs faciles, à des formules du même genre. 



Gardons à $;,(N) la signification ci-dessus, avec la convention, cette fois, 

 (ju'une classe de Gauss non ambiguë, de discriminant N, pour laquelle 

 a = 2/?, compte pour une demi-unité dans *a(N), une classe ambiguë conti- 

 nuant, en ce cas, à compter pour une. On aura, par (8) et ('9), 



«l>,.( A) + '^«I>,( A + i2)+...+ 20/,( A+A2)+...=-i 2^^(^) 



si A 3: — I ( mod 4 ) ; 



a)„( A) + 2a),( A + i-)-r-... + o,0/^^ ^^/,-2^+ _ _ 1 2^/^I_i^ + ^r(A^ 



si A — 4- I (mod 4): 



<i>„(o.A)4-o.a',(oA4-i'-) + ... + 20,,(2A4-/i^)+..:r^( =^) Vf/('z_i\ 



si A impair. 



Aux seconds meml)res, les sommes ï portent encore sur tous les diviseurs^/, 



G. R., 1919, ." Semestre. (T. 168, N» 25.) l63 



