SÉANCE DU 23 JUIN I919. 1203 



J.-H. Fabre, Souvenirs entomologiques. (Première série.) Edition défini- 

 tive illustrée. (Présenté par M. Edmond Perrier.) 



Laboratoire d'Essais du Cpriservatoire national des Arts et Métiers. 

 Résumé des travaux pendant la guerre^ par F. Cellerier, directeur du Labo- 

 ratoire. (Présenté par M. P. Painlevé.) 



GÉOMÉTRIE. — Champs vectoriels à directions asymptotiques indéterminées. 

 Note de M. Axel Egxell, présentée par M. Appell. 



pans ma thèse intitulée Géométrie infinitésimale vectorielle.^ j'ai examiné 

 les trajectoires orthogonales d'un champ vectoriel dirigées constamment 

 selon une direction asymptotique^ c'est-à-dire selon une direction telle que 

 la dérivée du vecteur défini dans le champ prise dans cette direction est 

 perpendiculaire à la direction de diflerentiation. Dans le plan perpendicu- 

 laire au vecteur, il existe généralement deux directions asymptotiques. On 

 peut appeler les trajectoires dirigées selon ces directions les lignes asymp- 

 totiques du champ; ces trajectoires présentent une grande analogie avec les 

 lignes asymptotiques définies dans 1^ théorie des surfaces. Leur plan oscula- 

 teur se confond notamment avec le plan perpendiculaire à la direction du 

 champ, et c'est là une propriété caractéristique de ces lignes asympto- 

 tiques. 



M. le professeur Cl. Guichard m'a fait remarquer qu'il existe un cas 

 d'indétermination des directions asymptotiques, lorsque les tangentes des 

 trajectoires orthogonales du champ font partie d'un complexe linéaire. 

 On sait, en effet, que le plan osculateur d'une telle courbe se confond 

 en chaque point avec le plan polaire du point par rapport au complexe, 

 Si le vecteur défini dans le champ est perpendiculaire en chaque point à 

 ce plan polaire, on peut donc conclure que toutes les directions dudit plan 

 sont des directions asymptotiques. M. Guichard a signalé l'intérêt qu'il y 

 aurait à étudier tous les cas d'indétermination possibles de ces directions. 



Le problème qu'il s'agit de résoudre est donc le suivant : Déterminer tous 

 les champs vectoriels jouissant de la propriété que, la dérivée du vecteur prise 

 dans une direction quelconque perpendiculaire à ce vecteur est perpendiculaire 

 à la direction de dijférentiation. Si Ton désigne par L le vecteur défini dans 



