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le champ, par X, Y, Z les nombres qui mesurent les projections du vec- 

 teur L sur trois axes de coordonnées rectangulaires, ces projections doivent 

 satisfaire à la relation 



(i) d\ dx + dY dy + dZ dz = o 



toutes les fois que les différentielles vérifient la condition 



( 2 ) X fl'.r + Y dy + Zdz. — o. 



Je me propose de démontrer ci-après que le vecteur L ainsi défini est 

 perpendiculaire, en chaque point P, au plan polaire du point P par rapport 

 à un certain complexe linéaire. On sait que, dans un complexe linéaire, le 

 plan polaire de tout point P est perpendiculaire en P au vecteur qui repré- 

 sente la vitesse du point P dans le mouvement hélicoïdal attaché au com- 

 plexe. Toute droite qui est perpendiculaire en un de ses points à ce vecteur- 

 vitesse fait partie du complexe et e&t perpendiculaire en chaque point à la 

 vitesse correspondante. Réciproquement, si toute droite perpendiculaire en 

 un de ses points à un vecteur défini dans le champ jouit de la propriété 

 d'être perpendiculaire en tous ses points au vecteur correspondant, on peut 

 en conclure que l'ensemble de ces droites forme un complexe linéaire. En 

 effet, par chaque point de l'espace il passe un nombre simplement infini de 

 ces droites, et toutes ces droites issues d'un même point sont situées dans un 

 même plan perpendiculaire au vecteur défini en ce point. 



Pour établir que le vecteur L est perpendiculaire au plan polaire de 

 chaque point de l'espace par rapport à un complexe linéaire, il sulfit donc 

 de montrer que toute droite perpendiculaire à L en un de ses points reste 

 perpendiculaire en chacun de ses points au vecteur L qui s'y trouve défini. 

 Or cette dernière propriété est presque évidente. En effet, lorsqu'on 

 - s'éloigne d'un point P dans la direction d'une droite A quelconque perpen- 

 diculaire à L, la dérivée de L est perpendiculaire à A. Le vecteur L tend 

 donc à tourner autour de A, en restant perpendiculaire à celte droite. 



Il est d'ailleurs aisé de donner une démonstration rigoureuse de cette 

 proposition. C'est ce que je ferai en montrant que toutes les trajectoires 

 orthogonales planes du champ sont des lignes droites. Cherchons, par 

 exemple, les trajectoires orthogonales contenues dans un plan ^ = const. 



En annulant la dilférentielle ^/^ dans les équations (i) et (2), on déduit 



(3) dXdx-^ d\ dy=^o, 



(4) y^dx-\-\dy =0. 



