SÉANCE DU 23 JUIN I919. 1205 



DifTérentions Téquation (4) en tenant compte de (3). Il vient 

 (5) Xfl?-^ H- Yc/-y = o. 



Des équations (4) et (5) on déduit 



dv 

 dx d^y — dy d- x ^^o ou bien -j- =: const. 



Les trajectoires orthogonales cherchées sont donc des lignes droites. 



Ce qui précède permet de conclure que le seul cas d'indétermination des 

 directions asymptotiques perpendiculaires au vecteur défini dans un champ 

 vectoriel est celui signalé par M. Guichard, où le vecteur est perpendicu- 

 laire en cha(|ue point de l'espace au plan polaire du point par rapport à un 

 complexe linéaire. 



A\ALYSi£ MATHÉMATIQUE. — Les singularités des équations différentielles 

 et les séries sommables. Note de M. Georges Rémouxdos, présentée par 

 M. Appell. 



1. Dans son Mémoire sur les séries divergentes ( .4/i/ia/<'^ fl^e /'A'co/e iVor- 

 niale supérieure^ 1^99) ainsi que dans son Livre : Leçons sur les séries diver- 

 gentes (Gauthier- Villars, 1901), M. Borel donne des applications aux 

 équations diftérentielles de sa belle et importante découverte des séries 

 sommables et démontre, entre autres, le théorème suivant : 5/ une série 

 absolument sommable vérifie formellement une équation différentielle 



(i) F[^, j, y, ..., jM] = o 



algébrique par rapport à y et à ses dérivées^ analytique en .r, la fonction 

 analytique dé/inie par cette série est une intégrale de l'équation (i^. 



Dans son Livre ci-dessus indiqué, M. Borel, après la démonstration du 

 théorème que nous venons d'énoncer, s'exprime ainsi : « Nous manquons 

 malheureusement encore de propositions précises sur les cas où l'on peut 

 affirmer la sommabilité absolue de la série obtenue » et ensuite il cite un 

 exemple très particulier : l'équation 



"" dx-"" ^ 



