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dont il détermine, moyennant sa théorie des séries sommables, l'intégrale 



répondant aux conditions initiales Xf^ = o, jk,, = o. C'est à ce manque de 

 propositions précises signalé par M. Borel et ci-dessus indiqué que se 

 rapporte la présente Note. 



2. Dans un travail antérieur \Contnbulwn à la théorie des singularités des 

 équations différentielles du premier ordre (^Bulletin de la Société mathématique 

 de France, t. 35, 1908)], j'ai étudié la singularité que présentent les condi- 

 tions initiales ic„ = o, jo = '^ pour l'équation différentielle 



dy 



(2) jc'^-^ = by-^f{x,y) (b^o), 



où/[x,y) désigne une fonction holomorphe dans le voisinage des x = o 

 ely = o s'annulant pour :c = o et r = o et ne contenant pas de terme de la 

 forme by. On sait qu'il existe une série [s] de Maclaurin satisfaisant for- 

 mellement à l'équation (2). Par une méthode de comparaison avec l'équa- 

 tion (non dilîerenlielle) 



OÙ F{x,y) désigne la fonction que nous obtenons en remplaçant tous les 

 coefficients par leurs modules dans le développement taylorien d^/(x,y)'^ 

 j'ai fait une étude détaillée de la série (s) qui montre que cette série est, en 

 général, divergente (son rayon de convergence est nul). La même méthode 

 de comparaison m'a permis d'obtenir de nouveaux résultats concernant 

 l'application aux équations difïerentielles de la théorie des séries sommables 

 de M. Borel. Ces résultats sont les suivants : 



Théorème I. — Considérons P équation différentielle 



(3) ^r-^i^=Oy+/{a^,y) (b^o) 



algébrique en x et y,f{x, y) désignant un polynôme quelconque s'annulant 

 pour X = o et y =^ o et ne contenant pas de terme de la forme by, et désignons 



