SÉANCE DU 23 JUIN 1919 1267 



par ¥(^x^y) la fonction qui se déduil du polynôme f{x, y) lorsqu'on y rem- 

 place tous ses coefficients par leurs modules. 



Si la fonction algébrique y = co(^) définie par r équation 



(4) ■^.'■ + F(a,-,j) = |^>lj- 



est prolonge cible analytiquement de l'are réel positif, la série (s) qui satisfait 

 formellement à l'équation (3) et répond aux conditions singulières £C(, = o, 

 Vy = o est sommable dans tout le plan x et sa somme est une fonction 

 u = g{x) dont le module ne dépasse pas, en chaque point du plan x, la valeur 

 de l'intégrale 



(5) / e'^r,^{ar) da . on r ^=\x\. 



La série associée à la série (,?) a un rayon de convergence toujours différent 

 de zéro., quelle que soit la fonction J{x, y^, pourvu quelle soit holomorphe 

 dans le voisinage des valeurs x = o et y = o. L'équation (4) sera appelée 

 associée à Téquation différentielle (3). 



Extensions du théorème. — a'. iNotre théorème s'étend au cas où ¥(x,y) 

 est algébrique en ./• non uniforme pour une branche telle q'.e la fonction 

 y z= (x>(^x) n'ait pas de points singuliers sur l'axe réel positif. 



j3'. Le théorème subsiste aussi dans le cas où f(-^',y) est un polynôme 

 dont les coefficients sont des transcendantes entières d'ordre inférieur à 

 l'unité. 



y'. Nous avons un théorème analogue pour l'équation plus générale 



dy 



x^-^ ■=z br -\- f{jc, y)^ où 6 =^ o et jlt. ^ 2. 



0'. Notre méthode donne des résultats analogues pour un système 

 d'équations différentielles en x^y^,y.^., ...,yj^, dont l'une au moins a la 

 forme 



'*'''-^ = ^l.>'l-^-/l(■^^ ri,7o /„) {by^o. [j-li). 



où la fonction f^ est holomorphe dans le voisinage des valeurs x = o, 

 y, -=0, y.,=zo, . . ., y„ = o, s'annule pour ces valeurs et ne contient pas de 

 terme de la forme by ou b^ o. 



